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1、五年级秋季班第九讲完全平方数曹威第九讲完全平方数完全平方数是数论中的一个重点知识，也是各大杯赛中常考的一个知识点。这一讲学员需要掌握的主要是完全平方数的性质及灵活运用。一、完全平方数的定义把一个自然数平方后所得到的数叫做完全平方数或平方数。二、常用完全平方数表676三、完全平方数性质1、平方数的尾数特征（通过列表的观察可得）性质1：完全平方数的个位只可能是0,1,4,5,6,9。性质2：如果一个自然数介于两个连续的平方数之间，则这个数一定不是完全平方数。性质3：若一个平方数的个位是6，则十位是奇数；若一个平方数的
2、个位是奇数，则十位一定是偶数；若一个平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数个；若一个平方数的个位是5，则它的十位一定是2，百位一定是0,2,6中的一个。2、平方数的余数特征任意数除以3的余数有0,1,2,三种情况，由余数的性质4：完全平方数除以3的余数只能是0、1。性质可知，平方数除以3的余数只能是，完全平方数除以4的余数只能是0、1。，，4除以3的余数还是1完全平方数除以8的余数只能是0、1、4。完全平方数除以16的余数只能是0、1、4、93、平方数的因数特征性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因
3、数的次数都是偶数次。性质6:完全平方数的因数有奇数个。4、平方数的差特征性质7：平方差公式：,其中和的奇偶性相同。注：在这7个性质中5,6,7是各大杯赛的常考点，性质1-4主要是用于判断一个数是否为平方数。四、完全平方数性质的灵活运用1、平方数的基础练习（1）不超过2010的最大的完全平方数是多少？估算，，所以应该在40-50之间，，所以不超过2010的最大的平方数应该是（2）一个平方数，它的最后三位数字相同但不为0，则该数最小是多少？性质1，个位只能是1,4,5,6,9，所以最小的应该是111,444,555,
4、666,999，但用余数特称有都被淘汰所以最小只能是1111,1444,…，最后验证得到第九讲完全平方数9.1五年级秋季班第九讲完全平方数曹威2、平方数的例题讲解例1、分析：肯定是发错了。作业本的总数量如果是个完全平方数的话由性质1可知，平方数的个位只能是0、1、4、5、6、9，所以除以5的余数只能是0、1、4，而题每人5本最后余3本，所以不可能。拓展练习：（1）1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6的结果是完全平方数吗？提示：不是，该式子的结果个位为1+2+6+4+0
5、+0=3，（性质1）（2）我们知道：，，都是完全平方数，那么121+12321+1234321+„+12345678987654321是不是完全平方数？提示：不是。该式的个位是8个1相加得8，所以不是平方数。（性质1）（3）完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9，可是个位数字是0,1,4,5,6,9的数不一定都是完全平方数。那么我们定义：个位是0,1,4,5,6,9，且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数和伪平方数那个多？提示：两位数共90个其中偶数共45个。两位数中个位为0,1,
6、4,5,6,9的数各有9个，共6×9=54个，其中平方数有4-9的平方，共6个。所以伪平方数共54-6=48个。所以伪平方数大于偶数。例2、分析：不能。（1）平方数的尾数特征性质3可知，个位为奇数，十位必为偶数，所以不能。（2）平方数的余数特征性质4，平方数除以4的余数只能是0,1。而这些数除以4的余数都是3。（看后两位）。所以不能。拓展练习：（1）除以4的余数是多少？提示：平方数除以4的余数只有0,1。奇数的平方除以4的余数为1，偶数的平方除以4的余数为0，所以原题中应该是1005个1与1005个0的和，即10
7、05除以4的余数1。（余数的性质：和的余数等于余数的和）。（2）除以3的余数是多少？提示：平方数除以3的余数只有0,1。3的倍数的平方除以3的余数为0，不是3的倍数的自然数平方除以3的余数都为1，所以原题中余数的和为1+1+0+1+1+0+…+1+1+0=2010÷3×2=1340，最后除以3的余数为1340÷3=446……2。余数为2（3）A是由2002个4组成的多位数，即444„44,则A是不是一个平方数？提示：A=444…44=4×111…11=×111…11.A若想是个平方数则111…11必须也得是平方数
8、，而111…11除以4的余数为3，所以不是。（同例2）（4）数学课上，老师让同学们求两个边长为整数的正方形的面积和，三个学生分别给出了如下答案：997,998,999。老师说只有一个人做对了，那么正确答案是哪个？提示：本题需要注意的是答案应该是两个平方数的和，所以平方数的性质不能直接用。（1）平方数除以4的余数为0,1。所以两个平方数的和除以4的余数只能是0,1,2。因此
