6.2完全平方数

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1、02一分为二——完全平方数学习目标:1、理解完全平方数的概念， 运用平方数的概念解决一些相关的数学问题。2、能把一个完全平方数写成质数积的形式，培养学生观察、总结概括的能力。教学重点:理解完全平方数的概念，掌握通过分解质因数的方法判断一个数是否是完全平方数。教学难点：握通过分解质因数的方法判断一个数是否是完全平方数。教学过程：一、情景体验师：同学们，观察以上的三个算式，你发现了什么规律呢？生：都是乘法算式，只是积在左边，因数在右边，等式右边是相同两个自然数的乘积，并按照连续自然数由小到大。师：说的很正确。

2、你们能根据这个规律，直接填出以下每个算式吗？（分别请学生作答）师：在数学王国中，有一些数都可以用两个相同的自然数的乘积形式表示出来，像这样的数我们统称为“完全平方数”，这就是我们今天要研究的数学问题（板书标题）。二、思维探索（建立知识模型）展示例题：例1：分别写出1～10的平方各是多少，观察这些平方数的个位数字，你能发现什么？师：请同学们计算自然数1～10的平方各是多少？将结果记录下来，并观察分析它们的结果，看看个位数字有什么规律？（小组探讨，代表给出探讨结果，教师总结）板书：平方数的个位数字有以下特点：

3、41、平方数个位上的数字只可能是0、1、4、5、6、9。凡个位上的数是2、3、7、8的自然数一定不是平方数。2、奇数的平方数的个位上的数字可能是1、5、9；偶数的平方数的个位上的数字可能是0、4、6。展示例题：例2：发现下面式子的特点，然后写出三个类似规律的式子，并观察一下，你能发现什么？师：分析题目信息，是不是感觉无从写出这样的式子呢？那么，我们先观察以上两个式子，你发现了什么呢？生：等式左边的数都被分解为了质数积的形式，每个质数的个数都是偶数个。师：说的不错！那么你能按照刚刚说的规律来写出三个式子吗？

4、既然不知道什么数学可以写成这种形式，那我们可不可以反过来思考一下呢？自己动手试试吧！（学生自主尝试写式子，请学生表述）生：1764=2×2×3×3×7×7=22×32×72。师：同学们说的都非常正确。当分解出来质因数个数为偶数时，这个数是一个平方数。板书：性质：分解质因数的方法可以判定某数是否是完全平方数:完全平方数分解质因数，每个质因数的个数必是偶数。二、思维拓展（知识模型拓展）展示例题：例3：下列数表示三位数或四位数，在方框内填上合适的数使其成为完全平方数，各有几种不同的填法。师：在例题1中我们总结过

5、平方数的个位数的特点，当一个位数的完全平方数的尾数为1的时候，那么这个数的尾数有什么特点呢？生：尾数为1或者是9。4师：那么为1的有哪些呢？为9的又有哪些呢？（小组探讨，给出答案）生：为1的有11、21、31；为9的有19、29。师：回答的非常正确，所以三位数共有5种填法。四位数的尾数是4，又该怎么填了？生：当其完全平方数尾数是4，这个数尾数为2或8。师：那么为2的有哪些呢？为8的又有哪些呢？试一试吧（小组为单位，分组讨论）共有多少种呢？生：尾数为2的有7种，为8的也有7种，共14种。（学生口述，教师按规

6、律书写）板书：总结：解决这类问题关键是根据尾数特点，数的大小确定数的大致范围。展示例题例4：aabb表示一个四位数，当a、b表示代表什么数字时，这个四位数是完全平方数？师：分析题目意思，以及这个四位数的特点，根据数位与数字的关系，我们能不能尝试分解一下这个四位数呢？生：这个四位数是由a个1000，a个100，b个10，b个1组成的。师：说的不错，我们还可以怎么说呢？生：也可以说是由1000个a，100个a，10个b，1个b组成。师：说的也非常正确。也就是说，我们一共含有1100个a,11个b。那么也就是说

7、这个四位数一定可以被11整除是吗？（是的）那我们就可以这样分解这个四位数：=11×(100a+b)=11×，要使得四位数是一个完全平方数，肯定也是11的倍数，也可以说=99a+（a+b），所以a+b的和一定是11的倍数，那么a+b的和只能为11。现在尝试写一下所有符合条件的四位数（学生自主完成）是不是都满足条件呢？总结：经验证a=7符合条件，所以当a=7，b=4时，四位数为完全平方数。二、融汇贯通（知识模型的运用）展示例题：4例5：已知360×a=b2,a、b是自然数,求a、b的最小值。师：分析题目，发现

8、360×a是一个完全平方数，则其分解出的质因数个数一定为偶数个，对吗？（对）那么我们是不是可以先把360分解质因数呢？（是的）请学生自己将360分解质因数。360=2×2×2×3×3×5师：刚刚我们说每个质因数的个数必须是偶数个，观察一下，你发现了什么呢？生：有3个2,2个3,1个5。师：那么说明了什么呢？谁能告诉我们？生：3和5的个数都是奇数个。师：非常好！要求ab的最小值，我们还需要什么呢？生：要满足题意，则至少需要1个