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1、完全平方数目录一、定义二、基础性质及推论三、重要结论四、区别五、特殊的完全平方数六、范例1.例12.例23.例34.例45.例56.例67.例78.例8七、讨论题一、定义及表达式1、定义：若一个数能表示成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫平方数。1.1例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529，…2、标准分解式：大于1的平方数n的标准分解式如下：（1）其中是质数
2、，是自然数。2.1例如：二、基础性质及推论观察0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529，…完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：1、性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9.（此为完全平方数的必要不充分条件）证明：设为完全平方数，是的个位数，则的个位数与的个位数相同。利用整数同余的知识有如果，那么又的全体
3、是集合，的全体是，的个位数全体是。所以平方数末位数只能是0,1,4,5,6,9.2、性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。证明奇数必为下列五种形式之一：分别平方后，得综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。3、性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明已知，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则或即或∴k为奇数。推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个
4、位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。4、性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。证明：这是因为5、性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。6、性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别
5、得同理可以得到：7、性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为型，是5的因数或倍数的数为型。证明：自然数被5除按余数的不同可以分为五类：为自然数。，，.8、性质8：形式具有下列形式之一：16k,16k+1,16k+4,16k+9.证明：自然数被8除按余数的不同可以分为八类：，为自然数。除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数
6、字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。下面证明这个命题。证明：设自然数是之一，那么是9的倍数。即关于完全平方数的数字和有下面的性质：9、性质9：数字之和只能是0,1,4,7,9。证明因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：10、性质10：（是自然数）为完全
7、平方数的充分必要条件是b为完全平方数。证明充分性：设b为完全平方数，则有是那么是完全平方数。必要性：若为完全平方数，则有，则有是的倍数，从而是的倍数，设，则有，推出是完全平方数。11、性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。证明由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。即若则k一定不是整数。13、
8、性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个正因数（包括1和n本身）。证明一：设完全平方数，由初等数论知识得，的正因数的个数是奇数。反之，自然数的正因数的个数是奇数，则均为偶数。从而是完全平方数。证明二：设完全平方数，那么每个小于的正因数，都有一个大于的正因数与之对应，这样的正因数就有偶数个，最后还有1个正因数，从而n有奇数个正因数。三、重要结论1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数。由性质1得到。2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。由性质2得到。3.
