完全平方数和完全平方式

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1、完全平方数和完全平方式！第三十一讲完全平方数和完全平方式　设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：　(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；　(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；　　(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；　

2、(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；　(5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；　(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；　(7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数．例题求解【例1】n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3

3、个完全平方数之和．思路点拨设3n+1=m2，显然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数)．　若rn=3k+1，则．∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+(k+1)2．若m=3k+2，则∴n+1=3k2+4k+2=k2+(k+1)2+(k+1)2．　故n+1是3个完全平方数之和．【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．思路点拨　引入参数，利用奇偶分析求解．设所求正整数为x，则x+100=m2----①x+168==n2-----②其中m，n都是正整数，②—①得n2—m

4、2=68，即（n—m）(n+m)=22×17．----③因n—m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n—m，n+m都是偶数．注意到0<n—m<n+m，由③可得．解得n=18．代人②得x=156，即为所求．【例3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．　　　思路点拨1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=

5、1，2，…)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．　对于被4整除的偶数4k，有4k=(k+1)2—(k—1)2(k=2，3，…)．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．　对于被4除余2的数4k+2(k=0，1，2，3，…)，设4k+2=x2—y2=(x+y)(x－y)，其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，(x+y)(x－y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2—y2=4k+2

6、．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．　因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．　因为1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数满足下列条件：(1)它的各位数字均不为零；(2)它是一个完全平方数；(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次

7、构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数．　试求出满足上述条件的所有五位数．思路点拨设，且(一位数)，(两位数)，(两位数)，则　　　①　由式①知　　②比较式①、式②得n2=2mt．因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数．故n2=16或36或64．当n2=16时，得，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；故或41616．当n2=36时，得．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．故或93636．当n2=64时，得．则m=1，2，4

8、，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．因此，满足条件的五位数只有4个：11664，41616，43681，93636．【例5】(2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与20