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《第五章53知能演练轻松闯关》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1.(2012·太原质检)已知数列{an}的首项a1＝5,前n项和为Sn,且Sn＋1＝2Sn＋n＋5,n∈N＋.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列;(2)求{an}的通项公式以及Sn.解：(1)证明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5,n∈N＋,可得n≥2时,Sn＝2Sn－1＋n＋4,两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1,即an＋1＝2an＋1,从而an＋1＋1＝2(an＋1),当n＝1时,S2＝2S1＋1＋5,所以a2＋a1＝2a1＋6,又a1＝5,所以a2＝11,从而a2＋1＝2(a1＋1),故总有an＋1＋1＝2(an＋1),n∈N＋,又a1＝5,
2、a1＋1≠0,从而＝2,即数列{an＋1}是首项为6,公比为2的等比数列.(2)由(1)得an＋1＝6·2n－1,所以an＝6·2n－1－1,于是Sn＝－n＝6·2n－n－6.2.(2010·高考上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn＝n－5an－85,n∈N＋.(1)证明：{an－1}是等比数列;(2)求数列{Sn}的通项公式,并求出n为何值时,Sn取得最小值？并说明理由.解：(1)证明：当n＝1时,a1＝1－5a1－85,解得a1＝－14,则a1－1＝－15.当n≥2时,Sn－1＝(n－1)－5an－1－85.∴an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－
3、1.∴6an＝5an－1＋1,即an－1＝(an－1－1).∴{an－1}是首项为－15,公比为的等比数列.(2)an－1＝－15·()n－1,∴Sn＝n－5[1－15·()n－1]－85＝n＋75·()n－1－90.当n≥2时,设Sn－Sn－1＝an＝1－15·()n－1>0,即15·()n－1<1,解得n>log＋1≈15.85当2≤n≤15时,SnSn－1.故n＝15时,Sn取得最小值.一、选择题1.设数列{an}为等比数列,则下面四个数列①{a};②{pan}(p为非零常数);③{an·an＋1};④{an＋an＋1},其中是等
4、比数列的个数为( )A.1 B.2C.3D.4解析：选D.对于①,因为＝()3＝q3(常数),所以{a}是等比数列;对于②,因为＝＝q(常数),所以{pan}是等比数列;对于③,因为＝＝q2(常数),所以{an·an＋1}是等比数列;对于④,因为＝＝＝q(常数),∴{an＋an＋1}是等比数列,故选D.2.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9＝2a,a2＝1,则a1等于( )A.2B.C.D.解析：选C.设公比为q,由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2,即q2＝2,又因为等比数列{an}的公比为正数,所以q＝,故a1＝＝＝,选
5、C.3.(2010·高考大纲全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3＝5,a7a8a9＝10,则a4a5a6等于( )A.5B.7C.6D.4解析：选A.数列{an}为等比数列,由a1a2a3＝5得a＝5,由a7a8a9＝10得a＝10,所以aa＝50,即(a2a8)3＝50,即a＝50,所以a＝5(an>0),所以a4a5a6＝a＝5.4.设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai＋1的矩形的面积(i＝1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件是( )A.{an}是等比数列B.a1,a3,…,a2n－1,…或a2,a4,…,a
6、2n,…是等比数列C.a1,a3,…,a2n－1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列D.a1,a3,…,a2n－1,…和a2,a4,…a2n,…均是等比数列,且公比相同解析：选D.由题意可知,An＝an·an＋1.要使{An}为等比数列,只需＝,即＝,也就是说,a1,a3,…,a2n－1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同.5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4＝1,S3＝7,则S5＝( )A.B.C.D.解析：选B.由a2a4＝1得aq4＝1,则a1＝,又a1(1＋q＋q2)＝7,所以(t＋3)(t－2)＝
7、0.所以q＝,a1＝4.所以a4＝4×3＝,a5＝4×4＝.所以S5＝7＋＝,故选B.二、填空题6.(2010·高考福建卷)在等比数列{an}中,若公比q＝4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an＝________.解析：∵S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21a1＝21,∴a1＝1,∴an＝1·4n－1＝4n－1.答案：4n－17.(2011·高考广东卷)已知{an}是递增等比数列,a2＝2,a4－a3＝4,则此数列的公比q＝__________.解析：设{an}的公比为q,则a4＝a2q2,a3＝a2q.a4－a3＝a2q2－
