第五章55知能演练轻松闯关

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1、1.(2011·高考福建卷)已知等比数列{an}的公比q＝3,前3项和S3＝.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式.解：(1)由q＝3,S3＝得,＝,解得a1＝.所以an＝×3n－1＝3n－2.(2)由(1)可知an＝3n－2,所以a3＝3.因为函数f(x)的最大值为3,所以A＝3.因为当x＝时,f(x)取得最大值,所以sin＝1.又0<φ<π,故φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin.2.设不等式组所表示的平面区域为Dn,

2、记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f(n)(n∈N＋).(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;(2)记bn＝2nf(n),Sn为{bn}的前n项和,求Sn;(3)设Tn＝,若对一切正整数n,总有Tn≤m成立,求实数m的取值范围.解：(1)f(1)＝3,f(2)＝6.当x＝1时,y＝2n,可取格点2n个;当x＝2时,y＝n,可取格点n个.∴f(n)＝3n.(2)由题意知bn＝3n·2n,∴Sn＝3·21＋6·22＋9·23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n,∴2Sn＝3·22＋6·23＋…＋3(n－1)·2n＋3

3、n·2n＋1.∴－Sn＝3·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n－3n·2n＋1＝3(21＋22＋…＋2n)－3n·2n＋1＝3·－3n·2n＋1＝3(2n＋1－2)－3n·2n＋1,∴－Sn＝(3－3n)·2n＋1－6,∴Sn＝6＋(3n－3)2n＋1.(3)∵Tn＝＝,∴＝＝,当n＝1时,>1;当n＝2时,＝1;当n≥3时,<1,∴T1T4>…>Tn,故Tn的最大值是T2＝T3＝,∴m≥.即实数m的取值范围是.一、选择题1.等差数列{an}的前n项和为Sn,S9＝－18,S13＝－52,等比数列{bn}中,b5＝a5,b7＝a7,则

4、b15的值为(　　)A.64　　　　　　　　　　　B.－64C.128D.－128解析：选B.因为S9＝(a1＋a9)＝9a5＝－18,S13＝(a1＋a13)＝13a7＝－52,所以a5＝－2,a7＝－4,又b5＝a5,b7＝a7,所以q2＝2,所以b15＝b7·q8＝－4×16＝－64.2.(2011·高考江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m,且a1＝1,那么a10＝(　　)A.1B.9C.10D.55解析：选A.∵Sn＋Sm＝Sn＋m,令n＝1,m＝9,有S1＋S9＝S10.∴a1＋a1＋a2＋…＋a9＝a1＋a2＋…

5、＋a10,∴a10＝a1＝1.3.(2011·高考天津卷)已知{an}为等差数列,其公差为－2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N＋,则S10的值为(　　)A.－110B.－90C.90D.110解析：选D.由题意得a＝a3·a9,又公差d＝－2,∴(a3－8)2＝a3(a3－12),∴a3＝16.∴S10＝＝＝5(a3＋a3＋5d)＝5×(16＋16－10)＝110,故选D.4.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3a5＝4,则数列{log2an}的前7项和等于(　　)A.7B.8C.27D.28解析：选A.在各项均为正

6、数的等比数列{an}中,由a3a5＝4,得a＝4,a4＝2.设bn＝log2an,则数列{bn}是等差数列,且b4＝log2a4＝1.所以{bn}的前7项和S7＝＝7b4＝7.5.某工厂购买一台机器价格为a万元,实行分期付款,每期付款b万元,每期为一个月,共付12次,如果月利率为5‰,每月复利一次,则a,b满足(　　)A.b＝B.b＝C.b＝D.a,即

7、p%,假设某人m万元1年期,到期后把上年利息自动转存为下年本金,如果不考虑利息税,用an表示第n年到期时的存款余额,则an＝________.解析：由a1＝m(1＋p%),a2＝m(1＋p%)2,a3＝m(1＋p%)3,可推导出an＝m(1＋p%)n.答案：m(1＋p%)n7.(2011·高考江苏卷)设1＝a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是__________.解析：∵a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,又a1＝1,∴a3＝q,a5＝q2,a7＝q3,又a2

8、,a4,a6成公差为1的等差数列,∴a4＝a2＋1,a6＝a2＋2.由1＝a1≤a2≤a3≤…