专题三知能演练轻松闯关

《专题三知能演练轻松闯关》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、1.已知数列{an}中,a1＝,an＝2－(n≥2,n∈N＋),数列{bn}满足bn＝(n∈N＋).(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.解:(1)证明:∵an＝2－(n≥2,n∈N＋),bn＝.∴n≥2时,bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－.∴数列{bn}是以－为首项,以1为公差的等差数列.(2)由(1)知,bn＝n－,则an＝1＋＝1＋,设函数f(x)＝1＋,易知f(x)在区间和内为减函数.∴当n＝3时,an取得最小值－1;当n＝4时,a

2、n取得最大值3.2.(2010·高考陕西卷)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1＝1,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列{an}的通项;(2)求数列{2an}的前n项和Sn.解:(1)由题设知公差d≠0,由a1＝1,a1,a3,a9成等比数列,得＝,解得d＝1或d＝0(舍去).故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n,由等比数列前n项和公式,得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1＝1,数列{an＋Sn

3、}是公差为2的等差数列.(1)求a2,a3的值;(2)证明:数列{an－2}是等比数列;(3)求数列{nan}的前n项和Tn.解:(1)∵数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列,∴(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝2,即an＋1＝(n∈N＋).又∵a1＝1,∴a2＝,a3＝.(2)证明:由题意,得a1－2＝－1,又∵＝＝,∴数列{an－2}是首项为－1,公比为的等比数列.(3)由(2)得an－2＝－n－1,∴nan＝2n－n·n－1(n∈N＋).∴Tn＝(2－1)＋＋＋…＋,即Tn＝(2＋4＋6

4、＋…＋2n)－.设An＝1＋2·＋3·2＋…＋n·n－1,①则An＝＋2·2＋3·3＋…＋(n－1)·n－1＋n·n,②①－②,得An＝1＋＋2＋3＋…＋n－1－n·n＝－n·n,∴An＝4－(n＋2)·n－1,于是,Tn＝＋(n＋2)·n－1－4＝(n＋2)·n－1＋n(n＋1)－4(n∈N＋).4.已知正项数列{an}满足a＋nan－1＝0(n∈N＋).(1)求a1,a2;(2)求证:0

5、＝0,∴a1＝.令n＝2得,a＋2a2－1＝0,∴a2＝－1±.∵an>0,∴a2＝－1.(2)证明:∵a＋nan－1＝0,∴an是方程xn＋nx－1＝0的一个根,设f(x)＝xn＋nx－1,则f(0)＝－1<0,f(1)＝n>0.∴方程f(x)＝0在(0,1)内至少有一个根,∵f′(x)＝nxn－1＋n>0,∴f(x)在(0,＋∞)上是增函数,∴方程f(x)＝0在(0,＋∞)上有唯一的根,且根在(0,1)内,∴an∈(0,1),∴0

6、∵a＋nan－1＝0且0

7、x＝kn,n∈N＋},R＝{x

8、x＝2an,n∈N＋},等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,110

9、5,求{cn}的通项公式.解:(1)∵点Pn(n,Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图像上,∴Sn＝n2＋2n(n∈N＋),当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.当n＝1时,a1＝S1＝3满足上式,∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1(n∈N＋).(2)对f(x)＝x2＋2x求导可得f′(x)＝2x＋2.∵过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn,∴kn＝2n＋2,∴Q＝{x

10、x＝2n＋2,n∈N＋},R＝{x

11、x＝4n＋2,n∈N＋},∴Q∩R＝R.又cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小

12、数,∴c1＝6.又{cn}是公差为4的倍数的等差数列,∴令c10＝4m＋6(m∈N＋).又1100,数列{an}满足a1＝b,an＝(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,an≤＋1.解:(1)∵a1＝b>0,an＝(n≥2)