专题五知能演练轻松闯关

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1、1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，离心率e＝，点A在椭圆上，d为点A到定直线l：x＝的距离．(1)求证：＝e；(2)试判断以右焦点弦AB为直径的圆与直线l的位置关系并说明理由．解：(1)证明：设A(x，y)为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点，＝m(m>0)，则＝m，两边平方整理得，(1－m2)x2＋y2＝(2c－)x＋(－c2)，比较椭圆方程＋y2＝b2的各项系数得，2c－＝0，∴m2＝()2，∵m>0，∴m＝，即＝e.(2)设A，B两点到直线l：x＝的距离分别为d1，d2，焦点弦AB的中点M到直线l：x＝的距离为d，由(1)可知＝＝e

2、，∴d＝＝·＝·>(∵0b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果

3、AB

4、＝，求椭圆C的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0.(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝.联立，得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.解得y1＝，y2＝.因为＝2，所以－y1＝2y2，即＝2·.得离心率e＝＝.(2)因为

5、AB

6、＝

7、y2－y1

8、，所以·＝.由

9、＝得b＝a，所以a＝，得a＝3，b＝.椭圆C的方程为＋＝1.3．已知两定点A(－t,0)和B(t,0)，t＞0.S为一动点，SA与SB两直线的斜率乘积为.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；(2)当t取何值时，曲线C上存在两点P、Q关于直线x－y－1＝0对称？解：(1)设S(x，y)，SA的斜率为(x≠－t)，SB的斜率为(x≠t)．由题意，得·＝(x≠±t)，整理，得－y2＝1(x≠±t)．故点S的轨迹C为双曲线(除去两顶点)．(2)假设C上存在这样的两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，则直线PQ的斜率为－1，且P、Q的中点在直

10、线x－y－1＝0上．设直线PQ的方程为y＝－x＋b，由整理，得(1－t2)x2＋2t2bx－t2b2－t2＝0，其中当1－t2＝0时，方程只有一个解，与假设不符．当1－t2≠0时，Δ＝(2bt2)2－4(1－t2)(－t2b2－t2)＝4t2(b2＋1－t2)，令Δ＞0，有t2＜b2＋1.①又x1＋x2＝－，所以＝－，代入y＝－x＋b，得＝.因为PQ的中点为在直线x－y－1＝0上，所以有－－－1＝0，整理，得t2＝，②解①②，得b＜0或b＞1,0＜t＜1，经检验，当t取(0,1)中任意一个值时，曲线C上均存在两点关于直线x－y－1＝0对称．4.如图所示，已知椭

11、圆＋＝1(a＞b＞0)和圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A、B.(1)①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；②若椭圆上存在点P，使得∠APB＝90°，求椭圆离心率e的取值范围；(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求证：＋为定值．解：(1)①∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2＋y2＝b2，∴b＝c，∴b2＝a2－c2＝c2，∴a2＝2c2，∴e＝.②由∠APB＝90°及圆的性质，知四边形OAPB为正方形，可得

12、OP

13、＝b，要使椭圆上存在点P，则

14、OP

15、2＝2b2≤a2，∴a2≤2c2，∴e2≥，∴≤e＜1.即离心率e

16、的取值范围是.(2)证明：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－，整理，得x0x1＋y0y1＝x＋y.∵x＋y＝b2，∴PA的方程为x1x＋y1y＝b2.同理PB的方程为x2x＋y2y＝b2.∵PA、PB都过点P(x0，y0)，∴x1x0＋y1y0＝b2且x2x0＋y2y0＝b2.∴直线AB的方程为x0x＋y0y＝b2.令x＝0，得

17、ON

18、＝

19、y

20、＝，令y＝0，得

21、OM

22、＝

23、x

24、＝，∴＋＝＝＝.∴＋为定值，定值是.5．已知中心在原点的椭圆C：＋＝1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x＞0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为.(1

25、)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，所以b2＝a2＋9，则椭圆C的方程为＋＝1，因为x＞0，所以S△MOF1＝×3×x＝，解得x＝1.故点M的坐标为(1,4)．因为M(1,4)在椭圆上，所以＋＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x

26、2，y2)两点，其方程为y＝4x＋m(