氢原子定态薛定谔方程的简单解法_佘守宪

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1、第11卷11大学物理..VOI11NO1192年第fl期COLLEGEPHYSICSNov.1992氢原子定态薛定谬方程的简单解法北方交通大学佘守宪’成都科技大学苏惠惠,,,摘要木文尝试避免较高深的数学工具表用微积分为求厂(,)所满足的常微分方程将式(2)代入式(l)初等算法求解氮原子及类氮离子定态薛定评方程.用并利用、之本文方法求出的能级角动量及角劝童分全的蚤子VZ=v·s·,价犷+2可VS+Vs化条件,以及定态波函数均与童子力学教材中结果一致,X·,“”势S+‘+y二但数学工具大为简化便于在低年级大学物理课的一青命范围

2、内采用.(劲一、简单解法V了=f“+2f‘/r又因,,,·“为”次有理整函数由式‘可”如所周知,氢原子或类氢离子所满足的定态薛定令丢愕方程为·一瓜就得到常微分”程vZ+:+一。一**(1)备备粤r、)s‘h‘4兀场r、丝/‘代r,“朴兰,r)+鲁由于势能u(r)!一z砂/(4二勺;)具有球对称性而且方宁与份斋)x,程对于,y侈为对称的故可设想定态波函数可写成xf(r)二0(4)「、,,,,沙(x夕z)=f(r)S(x夕:)(2),;,求解方程(4)即可得到f()及能级再设法选取合适的,xy,y,zl,,其中S(x,习为的次

3、齐次有理整函数函数S求得角动量平方及角动量z分量的取值便可、.;=;Sx,少,z=C。。,x”z气(mn+尸=l、求得氢原子定态薛定愕方程的解这里R()沙()给()艺勺+)(3)出定态波函数的径向部分(即径向波函数).,,,这里l‘Ol2一利用直角坐标与球坐标的转换关系x=,,、式rsin口eos毋叨‘拐inosin价z=陀050可以看出二能级及径向波函数.国是rl与某个以0及职为自变量的函数的乘积,.为求能级,及径向波函数沙()可求解方程(4)我我们总可以选取式(3)中各系数G,以使S们只讨论束缚态的情况(E

4、,满足拉普拉斯方程vZs=0例如当卜。时可取s=,,**为“化计算式“为长度单“二ax++a、、。常数;l=1时;峨沁妙cz(常数b任取);l=2a0/z鹦,,_,,,一一时可取‘=a尹+妙2+二2十办:+ezx+f勺其中a+b为玻尔半径并取能量单位为‘E0z”这里E0,,.+c=0Je六(常数,f任取)均能满足·,r一“,为氢原子”于基态时的““““‘a0’,l/Z这里可以指出对=0只有一个函数S满足箭,,,VZS=0;对l=l有三个独立的函数S(S二axS=妙E=一zZ‘s::Z,a+吞+。=o,武Eo)则式(4)化为

5、=)满足vs=o;对z=2则因条件故6’,个系数中只有5个是独立的故有5个独立的函数S满··(‘一0‘,’旦足俨=0.,l箫兴器一子s后面将证明在所有的次齐次有理整函数,.S共有21,,中满足拉普拉斯方程的独立函数+l个我其中了可(p)下面求解方程(5)l就是,,,,,s’们还将说明角量子数l=Ol23⋯分别表示一‘一0当p~co时式(5)的渐近形式为态,p态,d态,f态,,⋯箫.故得满足条件:P、¹时f(p)~o的渐近解为f(p)与量子力学教材(例如文献【4])的公式是一致的一.,=。p二),,万如~为求解方程(5)我们

6、设对l二1的p态卜2的d态等可仿此计算在此.=尸pf(p)(夕)‘厂(6)从略,,‘:=o,一般地”角量子数为的态。,气易见为了满足条件p~co时了(p)应令F(p)为,多项式而只要定出。的可能值及F(p)的诸系数就解卿,,,如,,代入方程(7)中令Pn的系数为零就得到出了f(p)将式(6)代入式(l)就得到“‘.+2一r夕F(丫万。+l+l)r一2n+2一2介+1卜0了百了万1=nr+l十l,乓,,+2[l一丫万(l+l)]F=o(7)于是向下若把正整数十t+l记作,,。一。一;’,则有(2,3⋯)亦即s’,’‘’‘选考

7、虑I=0(态)这一简单情况它相当于波函数人“旧“一弄、“一几‘J少,J’’l.7,,具有球对称性的情况这时方程(7)成为·l才eZ凡,,,,一粤n=l23⋯(9)“+2一‘+24兀。02a0pF(丫百夕+l)F(l一了万)F=o(8),Fp。:这正是熟知的氢原子和类氢离子的能级公式n为主量多项式()及相应的值可解出如下..,r,,1F,,。=n=n一一ln设二常数代人式(8)得到1子数l常称为径向量子数由此还得到当..’,,,,,,,,n2设F二C0+qp其中c0c,为待定常数代给定时l只能取0l2⋯(n一l)共个可能值至

8、于径向波函数凡众)则可如下求得,我们有人式(8)得2一p+lC,+2l一C。+C,。二o·一,:(丫万)(丫百)()“,机l(n“将凡(n)ckP代入方程一钱,,令常数项及p并取cl二1可得。一1/4的系数为零,,,=1,(7)令各项矿前的系数为零并取几即可依次.F=P一2、,一,,,,,:,.,,,求