幂等扩张的分配格的同余可换性

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1、数学杂志Vo1．35(2015)J．ofMath．(PRC)NO．2幂等扩张的分配格的同余可换性罗从文，郭玲(三峡大学理学院，湖北宜昌443002)摘要：本文研究了幂等扩张的有界分配格的同余可换性问题．利用幂等扩张的有界分配格的对偶理论，得到了同余可换的幂等扩张的有界分配格的一个充分必要条件，推广了Davey和Priestley关于有界分配格的一些结果．关键词：扩张的有界分配格：幂等的；同余可换MR(2010)主题分类号：06D05中图分类号：O153．1文献标识码：A文章编号：0255—7797(2015)02—0407-051引言设是一个泛代数，我们用Con

2、(L)表示的同余关系形成的格．若对任意的0，∈Con(L)，有0。5=。0，则称0和可换；若代数上的任意两个同余关系都是可换的，则称是同余可换的．近年来已有不少学者研究了具有同余可换性的代数，譬如Campercholi，方捷和罗从文在文f1—3]中分别研究了MS一代数，对称扩张的DeMorgan代数，对称扩张的MS一代数以及这些代数的同余可换性．在本文中我们提出了扩张的有界分配格的概念即一个具有(2，2，1，0，0)型的代数(；V，A，f，0，1)，其中(；V，A，f，0，1)是一个带有自同态，的有界分配格，我们把这一类代数记为eD．若f=f，则这个代数称为幂等

3、的，我们把幂等扩张的有界分配格记为eD．然后介绍了幂等扩张的有界分配格的对偶理论，最后借助对偶理论深入研究了幂等扩张的有界分配格的同余可换性，得到了同余可换的幂等扩张的有界分配格的等价刻画条件．下面我们先介绍扩张的有界分配格的对偶理论，详细内容可参见文献f4—81．2基础知识设P是一个偏序集且，Y∈P，若和Y不可比，记为ll；否则{fY，也就是Y或XY．一个拓扑空间(P；7-)，若带有一个偏序关系，则称它是序拓扑空间，记为(P；丁，)．序拓扑空间(P；)若对给定的X，Y∈P且Y，存在P的既开又闭的子集使得Y∈U及XU，则称为完全序不连通的．称一个紧致完全序不连通

4、空间为Priestley空间；若在Priestley空间上定义一个连续的保序映射g，则称这个空间为扩张的Priestley空间．若(P；g)是一个扩张的Priestley空问，O(P)是P的所有既开又闭的降集，定义f(A)=g-1()，收稿日期：2014—04—10接收日期：2014—06—04基金项目：湖北省自然科学基金(2011CDC099)．作者简介：罗从文(1965一)，男，湖北仙桃，教授，主要研究方向：格论数学杂志则OfP)是一个扩张的有界分配格．反过来，若(；‘厂)是一个扩张的有界分配格，()表示的所有素理想构成的集合，定义9(J)={0∈LIS(~

5、)∈)，则()是一个扩张的Priestley空间．显然，对于一个幂等扩张的有界分配格，它的对偶空问P是一个扩张的Priestley空间且满足9。=9．定义1．1设(；。厂)是一个扩张的有界分配格，0是它的一个格同余关系，若(a，b)∈0(．厂(n)，，(6))∈0，则称0是的一个同余关系．定义1．2设(_厂)是一个扩张的有界分配格，(JF)；9)是它的对偶空间．若9(Q)Q，则称P的子集Q是一个e一子集．关于扩张的有界分配格的同余关系，我们有如下结论：(1)如果Q是P的闭e一子集，则下面所定义的0(P)(L)上的关系0p：(A，B)∈0p兮ANQ：BNQ是o(P

6、1()上的同余关系．(2)设E(P)表示P的所有闭e一子集的集合，则映射0：Q一是E(P)一ConO(P)fConL)的对偶格同构．由对偶性可知，下面的定理是显然的事实．定理A设是一个扩张的有界分配格，(JF)；夕)是它的对偶空间．若是同余可换的当且仅当对于P的任意两个闭e～子集Qo和Q，以及既开又闭降集A，B，P，只要AnQ0=BnQo及BnQ1=CnQ1，则存在既开又闭降集DP使得AnQ1=DnQ1及DnQ0=cnQ0．2主要结论定理2．1设∈e2D，(P；9)是它的对偶空间．若对任意，∈P，>蕴含9()=9()，则L是同余可换的．证要证明是同余可换的，只需

7、证明的每对紧同余关系可换．设00和0是的两个紧同余关系且分别对应P的闭e一子集Q0和Q．不失一般性，设N0l：△，这里△表示Con(L)的最小元．(若满足定理中的素理想条件，则r／(ooN01)也满足；若Oo／(0oN01)和O1／(0oN01)可交换，则00和01可交换)．假设0，b，c∈0三b(Oo)和b兰c(o1)．则AnQo=BNQo及JE}nQ1=CnQ1，其中，B，为P中既开又闭降集且分别对应于n，b，c．令D=(CNQ0)U(ANQ1)．显然D是既开又闭的集合且DnQo=CrlC2o及nQ1=AnQ1．接下来证明D是降集．设∈D且>，则我们需要考虑

8、下面两种可能情况：(1)