群矩阵环结构定理及性质

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1、中国r包头职大学报2009年第2期群矩阵环的结构定理及性质梁秀丽(阜新高等专科学校。辽宁阜新123000)摘要：群矩阵是循环矩阵的推广，群矩阵环是全矩阵环的子环。关键词：群矩阵；置换矩阵；环；群环；广义除环中国分类号：015l文献标识码：A文章编号：167l—1440(2009)02—0085—03O．引言厶觚)‘1无))=杰／．㈨溉∞r面)4础》循环矩阵有着广泛的应用，本文讨论了，矩阵集合的整体性质，由群矩阵概念研究群矩阵集合的整体代数结构。结=杰工觚)‘袱她慨)4以))-‘讲)4如4构环上群矩阵全俸组成的集合形成一个结合环。此环是全，矩阵环的子环，称之为群矩

2、阵环。给出了群矩阵环的结构定；芝工0‘)‘．P任)l‘(甜．p【，))i，』：1，2，^，一理，即环上的群矩阵环与一个群环同构，并运用结构定理讨从而，船=“∽)-1乩炳∈o：嵋(旯)。证毕。论群矩阵环的应用性质。为研究方便篱记：对于某一固定的双射妒Ⅳ畸G，o甚g<盖)本文约定詹表示结合环，G表示有限群，且IcJ．m简记为眦(固，并且rc，‘PJ一矩阵简称为c一矩阵或群矩胁rRJ表示R上的n阶全矩阵。降环，N=fl，2，A。亿

3、2．群矩阵环的结构定理：1．概念及引理设R为有单位元的环，记面)=g。，i=1，2A，^，定义J：设‘p为Ⅳ副G的一个双射，对于AE』If

4、，lr尺J，如那么G=(娟)，妒(2)，^，妒0))=(g。，g，，A。晶)。果存在G到尺的映射．厂．使得矩阵A的第i行第f列的元设^，^，A，工是n个由下面的式子规定的C到只的素口。，满足如下条件映射。4F=厶如e)。1而)Ji，j-1，2，^麒，(吕)=乏=性警=r．s=1，2，A，．，7那么称彳为R上的一个rG，‘pJ一矩阵。那么对应的群矩阵分别记为P“P2，A，P^即矗上的所有rc，‘P)一矩阵组成的集合记为B蟛(耽o=Eklg，孵．r=1，2，^，一，易知，零矩阵为rG，‘pJ一矩阵。若有单位元，那么n阶可知?P，，B，A，只为n个不同的置换矩阵。记P

5、；{五·8，^，只】，单位矩阵In是rG，‘pJ一矩阵。那么易得出下面的结果。引理l：设A，暑∈醐：(晨)，口E趸，那么，命题(1)P关于矩阵的乘法成群；(目甜￡黜《陋j(2)BP，=只当且仅当grg卢gt；(h)^±B∈(ja2(司：，(3)JP兰G(群问构)。(嘭船￡8蜂(毋定理，、AEG地r只J当且仅当A有如下表示式证明：没4=以∽)4九熵，占=∽∞)_1础熵，只证(c)。4=口1只+42只+A十口，丑(3)．其中d。∈尼江l。2，A，咒。并且表示法是唯一的。因为肋：隆厶∽)-1以眦弘)一-比))1。，＼j-l／l证明：当A=n，P，+吐2B+／t+吐。只

6、时，由引理，知如果规定：儿(g)=∑厶(面))儿咖)～glVg∈G，r2JO柚反之，若爿∈G峨㈣记厶国，)=呜，i=1，2，^一于是有由于对于固定的‘PriJEG当‘PffJ跑遍G时，‘PfiJ。’‘PrZ川王以=4l^+口3五+A+4，工通过G。因此。所以(3)成立。收稿日期：2009一io—12作者简介：梁秀丽(1958一)，女，吉林双辽人，阜新高等专科学校副教授，研究向：高等学。85若又有^=6，P，+62P；+A+占．in，6。￡见那么g_gl=gt{nt—b

7、)Pl+(a2一b2)P2+L+{a。一曲。》P．=o而(n

8、一bI)fIlg

9、)+la2-b

10、2)f2tgI)+L+in．“n)矗t91)=oz(gilg。)=ZG．1蜀g。)=}：：毫篇：：j=L2，^．一即有二J：∽&H∽&)=㈣‘，=L≈^．一‘I=J，2’A，I那么当￡取遍l，2，A，l时就有n。兰6，，i=J，2’An。因此从而0矿=，。，即彳=彳1。^的这种表示法是唯一的。‘又因为AE伽。rR)，由定理，知定理2：(结构定理)f’A已=4f=1’乙^一rnJ群矩阵环伽。fRJ与群环RrGJ同构；于是∥=F4+只，f=1，2。^。苊．事实上r6J当月为有单位元的交换环时，伽。fRJ与月rcJ衅4+e以=f^小—啤=P—叼=■E嚣PAP：发P?=

11、P：友A稽P=只嚣E是代数同构的，又当C为交换群时伽。f月J是交换代数。∞P∥P)=∽朋+日=P∞+y弓=f山r只=^只∥P证明作映射F：∞￡(固一矗(a)，爿_÷∑q＆旧以+8月)．=旧—I+—嶂)．=彳乜+月y露=F—

12、+肥=e’且+只4即知。即即+露也是的Moore—PoI嗍逆，由唯一性知∥=删+暑。3群矩阵环的性质因此有定理3：如果G为交换群，那么AE伽。rR，的充要条件只z+=月+e，￡=12，A，嚣，是A与P，rf=，，2，A，nJ交换。于是。A’tGM。{R)o证明：必要性由定理j即知。定义2：设R是且有对合反自同构，的环。如果对于R充分性：设_=

13、b膏且以只=只4，f=1