一类塞流反应器模型正解存在性_刘志强

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1、第26卷第1期工程数学学报Vol.26No.12009年02月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSFeb.2009文章编号:1005-3085(2009)01-0118-05一类塞流反应器模型正解的存在性¤刘志强,聂华,吴建华(陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710062)摘要:本文考虑了一类较一般的塞流反应器模型。由极值原理给出了模型正平衡态解的先验估计，利用锥映象不动点指标理论及构造同伦映射的方法，并结合特征值理论研究了模型正平衡态解的存在性，得到了模型正平衡态解存在的充分条件。关键词:塞流反应器；不动点指标理论；正平

2、衡解分类号:AMS(2000)35B40中图分类号:O175.26文献标识码:A1引引引言言言塞流反应器是用于微生物连续培养的一种实验装置。它不仅可视为对污水处理过程或哺乳动物大肠的模拟，而且它已被广泛地应用于微生物的生产、生物制药、食品加工及生态系统尤其是水生生态系统的管理、预测和环境污染的控制。因此近年来，不少学者对塞流反应器模型进行了大量的研究，见文献[1-5]等。本文研究如下塞流反应器模型正平衡态解的存在性。¡1¡1st=d0sxx¡sx¡°1u1f1(s)¡°2u2f2(s);uit=diuixx¡uix+ui(fi(s)¡ki);0

3、;t)¡s(0;t)=¡1;diuix(0;t)¡ui(0;t)=0;sx(1;t)=uix(1;t)=0;t>0;s(x;0)=s0(x)¸0;ui(x;0)=ui0(x)¸0;0·x·1;i=1;2:其中s(x;t);u1(x;t);u2(x;t)分别为反应器中营养物及两竞争物种的浓度。d0;d1;d2>0分别为s;u1;u2的扩散系数，°1;°2>0为产出率，k1;k2>0为物种死亡率。通常假设反应函数f(s)满足：f(0)=0;f0(s)>0;f(s)2C1。最典型的例子是Monod函数f(s)=mis，其iiiiiai+s中mi;ai>0为常数。Bally

4、k等在文献[1]中利用一致持续性理论研究了此模型，主要讨论了随机扩散对物种持续生存的影响，并通过数值模拟说明了当扩散系数适当大时，物种可以共存。本文利用锥映射上不动点指标理论研究此模型共存解的存在性。因此，本文主要关注如下平衡态系统。¡1¡1¡d0sxx+sx=¡°1u1f1(s)¡°2u2f2(s);¡diuixx+uix=ui(fi(s)¡ki);0

5、散方程理论与计算.¤基金项目:国家自然科学基金(10571115)；国家自然科学基金数学天元基金(10726042).第1期刘志强等：一类塞流反应器模型正解的存在性1192正正正解解解的的的先先先验验验估估估计计计首先考虑单物种生存和灭绝的条件，即考虑如下单物种系统s=ds¡s¡°¡1uf(s);u=du¡u+u(f(s)¡k);x2(0;1);t0xxxtxxxd0sx(0;t)¡s(0;t)=¡1;sx(1;t)=0;dux(0;t)¡u(0;t)=0;ux(1;t)=0;t>0;s(x;0)=s0(x)¸0;u(x;0)=u0(x)¸0;6´0;x2[0;1]

6、:(2)正平衡解的存在性，唯一性及其解的渐近性态。为简化记号，将u1;u2记为u。设¸1(d)为如下特征值问题的主特征值¡d'xx+'x=¸1(d)';x2(0;1);d'x(0)¡'(0)=0;'x(1)=0:(3)相应的正单位特征函数记为'1(x;d)。由文献[1]的定理3.1，我们有如下结论：引理2.1(i)如果f(1)¡k<¸1(d)，则(s;u)=(1;0)为(2)的唯一非负平衡解，且它是全局吸引的；(ii)如果f(1)¡k>¸1(d)，则系统(2)是一致持续的，且(2)存在唯一的正平衡态解(^s(x);u^(x))，并且(^s(x);u^(x))满足：0

7、0;8x2[0;1]。引理2.2如果(s;u1;u2)为(1)的非负解，则(i)00或者ui´0(i=1;2)，又若0<±·d1;d2·D，则存在常数C(±;D)>0使得kuik1·C；(iii)如果u16´0或u26´0，则00;ui>0或ui´0。再根据¡d0sxx+sx·0，易见0