微专题三 函数与方程问题_王秀彩

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1、考频道ｗｗｗ－．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ．ｃｏｍ，２０１８年第１２期中学数学教学参考（上旬）微专题三函数与方程间题王秀彩（对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学））函数与方程思想是高中数学的基本思想之一。＝中的元素是离散的／，故函数３｜通过建立函数关系，用运动和变化的观点，分析和研／（：ｃ）的图像无法准确画出？究数学中的数量关系。怎么办我们自然还得，或运用函数的图像和性质去分＝从函数ｙ／ｘ）的解析式以及集合Ｄ的特征人手分（析问题、转化问题，进而解

2、决问题，是高中数学基本的。０，１）一＝析由于集合Ｄ中的元素都是在区间［内的有解题分析方法之。函数７（工）也可以看成是二／）理数，而有理数的＝（当然不是该区间内的所有有理数：ｃ通过建立方程或方程组元方程Ｗ，３〇０，分析数。一学问题中变量间的等量关系平方也定是有理数，所以我们可以从有理数展开，或者运用方程的性质去探索。一基本分析、转化问题，进而解决问题，是高中数学又且：的解题分析方法设１６［１，１〇），工６＜３；！：￥２（依题意，若：！£乙，。高考对此也经常以不同

3、的方式进＝则／（ｘ）０）。由于此时／（ｘ）ｅ（〇，ｌ），ｌｇｘ６（〇，ｌ），行考查，比如、：函数零点的个数问题、位置问题近似＝所以如果抛开有理数的限制，函数（ｉ）ｙ／与函数解问题等。以选择题、填空题、解答题等形式出现在““＝一３＞ｌｇ的图像就会有系列交点＇然而这些交试卷ｘ中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广”“”点在ｉ６Ｑ的前提下还是不是交点呢？易知此时一大师生关注。本文拟就此问题做探索。／Ｃｒ）６Ｑ。于是我们只需考虑Ｉｇｒ是不是有理数即１

4、函数零点的个数问题可，我，。结合有理数的定义们可令其中ｐ＝＝〇？函数ｙ／〇）的零点就是方程／（工）的根，也：Ｎｌ代，且互质。若ｌｇｘＧＱ，则由于ｇｚ６（〇，就是函数／（Ｘ）的图像与Ｘ轴交点的横坐标。因此，＝１ｌ，Ｘ，且７７２，Ｗ互）故可设ｇ卜其ｈ质。判断函数／（Ｘ）零点的个数问题，就可以转化为函卩数／Ｕ）的图像与：ｒ轴交点的个数问题。当然，如果＝，于是ｒ。此时左边为整数右边函数／＝Ｐ（爹（２）的图像不容易画出，也可以将（：ｃ）ｙ／变

5、非整数ｌｌ＝，矛盾。因此，ｇｘ￥Ｑ。所以ｇｘ不可能与每／ｉ（Ａ形为ｇ（：ｃ）：ｃ），然后转化为函数ｇＵ）与Ｕ）图像的交点个数问题个周期内对应的部分相等。于是我们只需考。＝＝虑函数ｊｌ（ｊｒ）与ｘ／函数；ｙ的图像在每个周期内ｇ例１设／，（Ｚ）是定义在Ｒ上且周期为１的函数ｉ茫Ｄ部分的交点的情况。Ｘ’Ｄ’＝＝且在区间［〇，１）内，／（■ｒ）其中集合Ｄ１１画出函数草图如图，图中的交点除（，〇）外其｜ｆｘ＾ｘＬ）９＼他交点横坐标均为无理数，故都属于每个周期ｉ磋Ｄ

6、ｎ＾＊＝ｘ—ｘ＝Ｎｌ０ｘｘ，？６，求方程／）的解（ｇ部分。＾｜ｊ的个数。—＝思路探求１，ｌ０：依题意方程／（ｄｇ的解的＝个数就是方程／（工）４Ｘ的解的个数，自然也就是函￣Ｔ〇＾＼２９＝？数３（工）与函数的图。那么，／像交点的个数＝如何画出函数ｙ／（ｘ）的图像呢？易知／（ｘ）６［０，ｌ），图；１＝＝＝故方程／Ｕ）ｌｒ０，１）１０，＋〇〇）ｌｇ在［口［内没有实数因此，函数（ｘ）ｘ：ｙ／与函数：ｙｇ的图像在区＝一

7、ｌ：１１０根。因此我们只需考虑方程／（：ｃ）ｒ在［，）内间２１０７ｇ［，）内共有个交点。至此，我们还有最后个＝一的根的情况。在尝试画函数７／（＾）的图像时，有问题需要厘清：它们在区间［１，２）内有几个交点？由＝一区间内都个困难不可避免地摆在我们面前：由于集合Ｄ于我们画的只是草图，而当两个函数在同２０－／．ｚｈｏｎｓｈｕｃａｎ．ｃｏｎ考頻道１８年第１２期ｇ＾Ｕ中学数学教学参考（上旬）是递增的情况下，它们的交点个数是不确定的。所以＝＿＝—＋２ｒ

8、（ｌｎ＜ｚｌ（）若ａ＞０，则［／Ｏ）］腿／）士＝１０我们还需考查函数ｙｌｘ，）ｇ在点（处切线的情况。Ｉｎａ。而这个最小值的符号就直接影响着／（ｄ零点１’＝－＝１〇因为（ｌｘ），所以ｌｚ在，）ｇ：ｖｇ点（处的导数ｘｉｎｉ６—ｉ的个数。因此，需要对ｌ＋ｌｎａ的符号进行讨论。ａ为＜１，１，２）＾。于是两个函数在区间［内有且仅有＝—丄＝一＋①若ａｌ，则１ｌｎａ０，／（ｘ）恰有个零