专题三函数方程思想

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1、专题三三个“二次”关系在高考中的应用陈燕春三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●锦囊妙计1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n.(2)当a>0,f(x)在区间［p,q］上的最大值M，最小值m,令x

2、0=(p+q).若－

3、检验另一根若在(p,q)内成立.(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p0时，f(α)

4、α+

5、<

6、β+

7、,当a<0时，f(α)

8、α+

9、>

10、β+

11、;(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立或(4)f(x)>0恒成立难点训练1.已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实

12、数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是_________.解析：只需f(1)=－2p2－3p+9>0或f(－1)=－2p2+p+1>0即－3＜p＜或－＜p＜1.∴p∈(－3,).答案：(－3，）2.二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)

13、1－2x2－2

14、＜

15、1+2x－x2－2

16、,∴－2＜x＜0.答案：－2＜x＜03.

17、（11天津）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是　　　　．【解】．解法１．不等式化为，即，整理得，因为，所以，设，．于是题目化为，对任意恒成立的问题．为此需求，的最大值．设，则．函数在区间上是增函数，因而在处取得最大值．，所以，整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是．解法2．同解法1,题目化为，对任意恒成立的问题．为此需求，的最大值．设，则．．因为函数在上是增函数，所以当时，取得最小值．从而有最大值．所以，整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是．解法3．不等式化为，即，整理得，　　令．由于，则其判别式，

18、因此的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使对任意恒成立，必须使为最小值，即实数应满足　　　　解得，因此实数的取值范围是．解法4．(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意，恒成立，则对，不等式也成立，把代入上式得，即，因为，上式两边同乘以，并整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是．4.（11湖北）设函数，其中为常数，已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线.(Ⅰ)求的值，并写出切线的方程；(Ⅱ)若方程有三个互不相同的实数根，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.（2）由（1）得，所以依题意，方程有三个互不相

19、同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程的两相异的实根.所以△=9-4（2-m）>0，即又对任意的成立.特别地，取时，成立，得m<0.由韦达定理，可得故对任意的，有，，x>0.则又所以函数在的最大值为0.于是当m<0时，对任意的，恒成立.综上，m的取值范围是（）.5.浙江文设函数，（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．注：为自然对数的底数．本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。（Ⅰ）解：因为，所以由于，所以的增区间为，减区间为（Ⅱ）证明：由题意得

20、，，由（Ⅰ）知内单调递增，要使恒成立，只要，解得6.（2011年高考全国卷文科21)已知函数(Ⅰ)证明：曲线（Ⅱ）若求a的取值范围。【解析】(Ⅰ)，，故x=0处切线斜率，又即，当故曲线（Ⅱ），令，故7.(2011年高考天津卷文科19)（本小题满分14分）已知函数其中.（Ⅰ）当时,求曲线在点