感悟数学之美

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1、感悟数学之美感悟数学之美朱江波（07310124）（东南大学数学系，南京210096）摘要：数学之美是抽象的，但是本文通过美丽的分形和正态分布两个具体的例子，向大家展示具体的数学之美。本文所使用的数学工具并不“艰难”，因此还是比较方便理解的。这正是数学的深奥与简单之处。Abstract：Thebeautyofmathematicsisabstract,butthepassageshowsthebeautyofmathematicstoreadersbytwospecificexamplesoft

2、hebeautifulFractalandNormaldis-tribution.Themathematicaltoolsofthispassagearenot“difficult”,soitiseasytounder-stand.Thisisthemathematicsoftheesotericandsimple.关键词：分形几何、中心极限定理、正态分布Keywords：Fractalgeometry、centrallimittheorem、Normaldistribution一、引言数学，尤

3、其是高等数学，让许多人望而却步。里面的内容博大精深，尤其是1900年Hilbert提出著名的23个问题之后，能像他那样通晓数学各个领域的人已经几乎不存在了。数学是那么高深，但同时数学也和我们紧密相连。数学之美，有些是具体的，像一些美丽的图形、黄金分割等等，但更多的是抽象的，不是通过视觉听觉就可以感受出来，而是一种用心去体会的美。就像解析函数，学数学的人都认为这种函数美，因为它处处可导，有许多非常好的性质，所以就美。所以，数学之美不仅仅在于她的形式，更多的是她的内涵。本文在不回避“深奥”的数学，但

4、回避“艰难”的数学的宗旨下，通过两个具体的例子向大家展示数学之美。二、Cantor三分集与分形几何首先，我们还是先看一个比较直观的例子。1883年，德国数学家Cantor构造了一个所谓“数学怪物”——三分集。它是人类理性思维的产物，并非某个现实原型的摹写；尤其值得关注的是，用传统的几何学术语言很难对它进行描述。它既不是满足某些简单条件的点的轨迹，也不是一个简单方程的解集。可以说，它是一个新的几何对象。☆Cantor三分集构造1212将闭区间,0,1-三等分，去掉中间的开区间(,)，剩下两个闭区间

5、,0,-，,,1-。又把这33331278两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即(,)，(,)。一般地，当进行到第?次时，9999一共去掉2n;1个开区间，剩下2n个长度是3;n的互相隔离的闭区间，而在第?+1次时，再将这2n个闭区间各三等分，并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从,0,1-去掉了可数073101241朱江波感悟数学之美注1个互不相交（而且没有公共端点）的开区间，而且剩下的必是一个闭集（它至少包含各邻接区间的端点及其聚点），称它为Cantor三分集，记为?。☆Koch“

6、雪花”曲线或许这个例子还不够直观，那么由瑞典人Koch于1904年提出的著名的“雪花”曲线，其做法与Cantor三分集有异曲同工之妙，但从视觉来看或许更让人看出数学之美。美丽的Koch曲线Koch曲线有着极不寻常的特性，不但它的周长为无限大，而且曲线上任意两点之间的线内距离也是无限大；曲线在任何一点处都连续，但却处处不可导；该曲线长度无限，但却包围着有限的面积！□这显然和我们的常识所相悖，但它确确实实的被构造出来了，使得我们不得不惊叹于数学的巧妙之处。正是Cantor三分集的出现，使得数学又一新

7、的分支——分形几何出现。Cantor三分集是最早出现的分形。首先，它具有“自相似性”，即其局部与整体彼此相似。这是分形的一个重要的特征。其次，它是无穷操作或迭代的结果，呈现出一种特别的精细结构。这种奇异的几何图形，用欧式几何和解析几何的方法是难以表述的。☆Hausdoff维数提到分形几何，就不得不介绍一个Hausdoff维数。假设我们把分形图形分成N个相等1logN的部分，每一部分在线性尺度上都是原来图形的，那么这个图形的维数就是。显然，mlogm当N≠mk(k∈N)时，这个维数都不是我们常见的

8、整数。这对我们这些生活在三维世界的人来说是不可思议的！由Hausdoff维数计算公式我们可以算出Cantor三分集的维数是log2log4≈0.63，而Koch曲线的维数是≈1.26。说明那一团挤在一起的图形，比一维的线段log3log3维数要高，但是还达不到平面图像的二维水平。□由此可见，数学之美是一种理性的美，通过理性的思维确实能构造出来这么美丽的产物，表达式不一定每个人都能看懂，但是图形却是大家共同的语言。三、中心极限定理与正态分布正态分布(Normaldistribution)，就如她的