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《正定矩阵运算的封闭性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、年抚州师专学报年月一∀#∃%&∋(#)∗∃+,#∃−.∋.,.%/0#1(.2.总第!3期第!期正定矩阵运算的封闭性江佑民4数学系5,,。正定二次型在二次型中占有重要位置它在其他学科中也有重要应用和正定二次型。。相伴的是正定矩阵本文讨论正定矩阵对哪些运算是封闭的,也,&6称高等代数中把正定二次型的矩阵称为正定矩阵就是说一个阶实对称矩阵为,−,二8,,7,−,,正定矩阵如果二次型767是正定二次型此处747⋯5−为矩阵的转置运算&∀,,。,二,,,。−−。即对任意个不全为零的实数0一004
2、0⋯05总有0609#高等代数中。有结果8&6是正6∀:当且仅当6的&阶实对称矩阵定矩阵当且反当合同于单位矩阵个特征。&,%,根全为正数阶实对称矩阵6称为半正定矩阵如果实二次型;6;是半正定二次型即对&工,8,,&−,−<(,,。。任意个实数00⋯0恒有060葵。此外040⋯05。命应正定矩阵的和是正定矩阵8:,=,,。&,,>=>>。,证设66⋯6都是阶正定矩阵显然66⋯6是实对称矩阵对任&二、,,。,≅,−‘二,,意个实数成的040⋯05−子?因6是正定矩阵故有0609Α4Β儿⋯。5−8十少,%
3、二,。因而046⋯>6动0<060>⋯>0609Α得证,一‘Χ。命肠若6是正定矩阵则6和6的伴随矩阵6都是正定矩阵8,犷二。,一‘,,一‘证6正定则有可逆矩阵Δ使Δ6Δ工两边取逆得6合同于∀因此6是正定。·。。,二一‘,Α6的全,,8,矩阵又64Ε.Φ656由6正定得6的行列式Ε.Φ65部特征根入入⋯入均,Γ」Γ‘ΓΓ二ΓΓ二Γ,。Χ‘、人Η、Η人Α。。:。。≅·,一·二‘,‘、入。Χ。二.,∀,,Β∀,,.8。Β,≅’粉。是正‘数产显然‘”’6Χ一的‘’‘全一部’特’”征卜ϑ根’为“‘Ε一6户
4、’Ε.一68一Ε6。’它们‘’‘也是正ΚΚ数“一一一一Ι≅甲协入又久一一一一一,丁二%二Χ。又465465Χ6七因而6正定”,,,,,,=,命邃!若6二6是正定矩阵则它们的直和6子6。⋯舍6Λ也是正定矩阵此、。8二二,,,,处6!川∀#∃%&⋯∋(为对角分块矩阵‘二,,,。证矛⋯子∋的特征根为各特征根的全体〔#)⋯。(因而都是正数∗二,+,。二,,、。又&。⋯∋(于⋯!,⋯爸∋因此印⋯−∋是正定矩阵一一枚鹅日期.//.,0..3、&,。命两若6Μ是阶正定矩阵则6Μ
5、6也是正定矩阵8,%二,,,Μ68,,·证6正定故66且6可逆由6<6Μ6得6Μ6合同于ΜΜ是正定矩阵Ν。因此6Μ6是正定矩阵,,,。由高等代数知道6正定与6合同的矩阵砂6Δ也是正定矩阵此处Δ是可逆矩阵类似有&,&,,。命题Ο设6是阶正定矩阵Μ为Λ实矩阵则Μ6Μ为半正定矩阵8&(,,。,<:,,。−,%%<−证对任意个实数0⋯0040⋯05有04Μ6Μ504Μ.564Μ055#:又4Μ%6Μ5”二Μ(’6,4Μ尹5%<Μ−6Μ,故%6Μ。Μ为半正定矩阵<4。,,Μ二,5分别为&,Λ&定义设6154ΠΛ
6、阶和阶矩阵阶分块矩阵∋,∀Μ∋(#Μ∋(ΛΜ1月≅%Η夕百((声≅、∋8∀Μ∋88Μ“8ΛΜ∃8。∋Μ∋Λ8Μ⋯8了。。Μ一,,。‘、。、。,二。≅Η,叫做矩阵6和Μ的直积记作6因Μ此处Μ为数与矩阵Μ的积设645<,1&,,二&Μ4Π5都是Λ矩阵矩阵∋(,+Κ夕,。8。ΠΠ、夕∀、了、∀、叮,。。。Ν“二(#(∋二Π⋯ΠΜ:。,#。叫做矩阵入和的Θ∋Ε。%Ε积记作6ΜΡΜ&,八12,命题若6和分别为。阶和阶的正定矩阵则也是正定矩阵若和2都3,42。是阶正定矩阵则也是正定矩阵丁二丁二,。证.由文献
7、〔.〕得&12(兮以!2故12是对称矩阵设的∋个特征,,,5。3。,,拼,,,·3根为入⋯入2的个特征根为⋯由〔月12的∋个特征根为‘7二,,9(二,,3,,,,,。,拼,,,,,6入。巨8⋯∋#⋯)2都是正定矩阵入⋯入⋯。都是正,,,9一;,,3,。数因而入琳:&#;#⋯∋一⋯(均是正数故1<是正定矩阵4,4、,』,,=由&2(的第#行第#列的元素是2的#行第#列的元素即为内山∃:∃,:,7‘二‘:,∃7‘;∃‘‘7。∃‘7,,4#、,又一>>故>>>恰是2的第行第:列的元素因
8、而证得。?二4,43≅。,&助2注意到2是阶方阵12的一个阶主子方阵由.人函2正定得。42正定。3、命题Α阶正定矩阵的复合矩阵Β&(也是正定矩阵,Χ+;Χ?二、。,3,,。,证由〔.〕&Β&((Δ&(Β&(正定的个正特征根设为入⋯入,Χ工=、..=二之,。由以〕Β&(的全部特征根为认从⋯叭Ε铆Φ.&人勤)因而全是正数于是。ΒΧ&(为正定矩阵、3,;Η命魔Γ设2是阶正定矩阵那么2正定允分必要条件是22。,二,二,丁二。,
