正定矩阵的性质研究

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1、数学1391正定矩阵的性质研究【摘要】：正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。基于此，本文首先对正定矩阵的定义进行了描述，其次研究了正定矩阵的性质与判定方法，最后简单介绍了其具体应用。【关键词】：正定矩阵；基本性质；推论；判定；应用【正文】：矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至右些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数

2、特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，正定矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具。本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。1.正定矩阵的基本性质1.1正定矩阵的定义设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=（xl，……，xn）都有X'MX〉O,就称M正定（PositiveDefinite）。正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。所右特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。另一种定义：一种实对称矩阵，正定二次型f(xl，x2,…，xn)=X'AX的矩阵A(A")称为正定矩阵。1.2正定矩阵的性质当矩阵A为正定矩阵的时候，则

3、必有以下几个性质，即：(1)aii〉0,i=l，2，，n;(2)A的元素的绝对值最大者，必定为主对角元；(3)^a.nnAn-1,其中，An-1是A的n-1阶主子式；(4)彡alla22……ann，当且仅当A为对角阵的时候成立；而除了以上这几个性质外，还有若干个推论也是比较重要的，在很多应用中都会有一定的涉及，值得我们给予重视。推论1:与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵；推论2:与正定二次型等价的实二次型也是正定的，从而满秩的实线形替换不改变实二次型的正定性；推论3:若A,BeMn(K)都是正定矩阵，则A+B,kA也是正定的(k>0)；推论4:AEMn(K)是正定矩阵的充要条件是：A的正惯

4、性指数等于A的维数n;推论5:AeMn(K)是正定矩阵的充要条件是：A相合于单位矩阵E;推论6:AeMn(K)是正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵C，使A=CTC。正定矩阵在合同变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或尼米矩阵）也是正定矩阵判定定理h对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。判定定理2:对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。判定定理3:任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。正定矩阵的性质：1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即

5、A

6、类0。2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵

7、。3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*l?，此分解式称为正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。4.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。1.3正定矩阵的判定对于正定矩阵的判定，除了依据正定阵的定义、性质以及推论，还可以参考下列两种方法进行，G卩：（1）霍尔维兹定理判别法计算A的各阶主子式，若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的;若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。也就是，对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正。即对称阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即这个定理就霍

8、尔维兹定理。(2)特征值判定法求出A的所有特征值，若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。1.正定矩阵的应用正定矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具右广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣。对正定矩阵的研究，主要集中在理论研究与工程应用方面。1用正定矩阵的定义证明一些结论例1.设/1为以^2实矩阵，且A的秩r(A)=n，证明：正定证明：•••r(A)="，AX=0只有零解则XtAtAX=(AXfAX>0AtA正定例2.A为〃阶正定矩阵，B为nxm阶实矩阵，且r(6)=m，则是正定矩阵.证明：1。•••(BtAB)t=btatb=btab•••为

9、实对称矩阵2°r(B)=zn，m