第19讲等差数列

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1、第19讲等差数列知识点：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．2、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．3、若等差数列的首项是，公差是，则．4、通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．5、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．6、等差数列的判断方法：定义法或。例1．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等

2、差数列答案：B；解法一：an=∴an=2n－1（n∈N）又an+1－an=2为常数，≠常数∴{an}是等差数列，但不是等比数列.解二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这数列一定是等差数列。7、等差数列的前和：，。例2：等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是(　　)A．S7　　　　　　　B．S8C．S13D．S15解：设a2＋a4＋a15＝p(常数)，∴3a1＋18d＝p，解a7＝p.∴S13＝＝13a7＝p.51.例3．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n为(　　)A．

3、48B．49C．50D．51解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1＝得d＝，令an＝33＝＋(n－1)×，可解得n＝50.故选C.答案：C练习1.等差数列中，，，则通项　　　　；练习2.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______；例4：设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.解析：S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.答案：－72例5：已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为(　　)A．11B．19C．20D．

4、21解析：∵<－1，且Sn有最大值，∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，∴S19＝＝19·a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0.所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.答案：B练习3.数列中，，，前n项和，则＝＿，＝；练习4.已知数列的前n项和，求数列的前项和.8.若、是等差数列，则、(、是非零常数)、、，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.练一练：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。9.若等差数列、的前和分别为、，且，则练一练：设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么__________

5、_；51.10.“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？练一练：等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；例6．（1）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn

6、的最大值（2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.260解析：（1）答案：C；由S50，又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C选项S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由题设a7=0，a8<0，显然C选项是错误的。（2）答案：C解法一：由题意得方程组，视m为已知数，解得，∴。解法二：设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和

7、为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。∴b3=b2+d=70+40=110∴前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2－S1=70，从而d=a2－a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。同步练习：51.1、等差数列，，，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．2、中，