高二数学第19讲等差数列及其性质(李诗睿)

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1、等差数列及其求和—、同步知识梳理等差数列的性质总结(一)等差数列的公式及性质1•等差数列的定义:an-an_｛=d(d为常数)(n>2)；2.等差数列通项公式：an=ax+(n-l)rf=dn^ax-d(neTV"),首项：坷，公差:d,末项：色推广：an=am+(h-ni)d.从而d=—~；n-m3.等差中项(1)如果d,A,b成等差数列，那么A叫做aUb的等差中项.即：A二出或2A=a+b2(2)等差中项:数列｛%｝是等差数列o2an=anA+an+｝(n>2)o2an+1=an+an+24.等差数列的判定方法(1)定义法：若an-an_｝=d或~an=d(常数neN*)<=>｛a“

2、｝是等差数列.(2)等差中项:数列仏｝是等差数列o2an-an_x+an+[(n>2)u>2an+l=an+an+2.⑶数列｛①｝是等差数列an=kn+b(其中是常数)。(4)数列｛勺｝是等差数列«Sn=An2+Bnt(其中A、B是常数)。5.等差数列的证明方法定义法：若色-仏

3、=〃或an+[-an=d(常数皿AOo｛%｝是等差数列.6••等差数列的性质：(1)当公差〃工0时，等差数列的通项公式色=q+(n-)d=也7+4-d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前〃和Sn=nax+―d=-n2^-(a｝~—)n是关于〃的二次函数H常数项为0.222(2)若公差d>0,则为递增等差数列，

4、若公差dvO,则为递减等差数列，若公差d=0,则为常数列。(2)当加+n=p+g时,!8'J

5、是项数为2n+

6、l的等差数列的屮间项S2z,+1=(2兀+1)(坷+@,屮)=(2料+1)4屮(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)2(2)若｛%｝是等差数列,则Sn9S2n-Sn9S3n-S2n,…也成等差数列(3)设数列｛%｝是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，S”是而n项的和1.当项数为偶数加吋，c....斤他+如一1)S奇=再+色+%+…+a2n-l=二叫S偶=色+他+°6+•••+a2n=—「2_二叫屮S偶一=nan+[-nan=n(an+[-an)=ndS奇_nan_an——S偶叫+1色+12、当项数为奇数2/?4-1吋，贝U^2«+i=彳奇+S偶=(2/

7、1+1)an^Js奇=(n+1)%+1S奇_〃+1V=S奇-彳偶=%+】[S偶=nan+lS偶n(其中是项数为2n+l的等差数列的中间项).⑷｛©｝、©｝的前"和分别为4、E，且¥>=/(〃),a”二⑵2-1心二血I(5)等差数列的前n项和Sm=n,前m项和Stl=m,则前m+n项和Sm+n=-(/?i4-n)⑹求S“的最值法一：因等差数列前斤项和是关于n的二次函数，故对转化为求二次函数的戢值，但耍注意数列的特殊性ngN*o法二：(1)“首正”的递减等差数列中，前〃项和的最大值是所冇非负项Z和32、已知｛色｝为等差数列，且a1—2a4=—lia3=0,则公差d=B-"2迁0.2已知｛色｝

8、是等差数列,坷+。2=4,64+08=28,则该数列前10项和Si。等于（B.100C.110D.120a>0即当67,>0,d0,由｛〃°可得S”达到最小值时的斤值.1%20或求仏｝中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前刀项和的图像是过原点的二次函数，故刀取离二次函数对称轴最近的整数时，S”取最大值（或最小值）。若&=»则其对称轴为〃二上卫2注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于q和

9、〃的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量.二、同步题型分析题型一、利用等差数列的定义求值计算。1、等差数列｛色｝的前n项和为S”，RS?=6,^=4,则公差d等于5A.1B—C.-2D3记等差数列｛色｝的丽5项和为S”，若67,=-,S4=20,则S6216B.24C-36题型二利用等差数列的性质计算（当m+n=p+t/M,则有am+an-ap+aq）：K设S〃是等差数列｛勺｝的前n项和，已知色=3