高二数学寒假专题：《等差数列与等比数列的性质及其应用》知识精讲

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1、高二数学寒假专题：《等差数列与等比数列的性质及其应用》【本讲教育信息】一.教学内容：寒假专题——数列：等差数列与等比数列的性质及其应用二.本周教学目标：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题。三.本周知识要点：1.一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：

2、an=2.等差数列的通项公式：an=a1+（n－1）d，an=ak+（n－k）d（其中a1为首项、ak为已知的第k项）当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。3.等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。4.等差数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=5.等差中项公式：A=（有唯一的值）6.等比数列的通项公式：an=a1qn－1an=akqn－k（其中a1为首项、ak为已知的

3、第k项，an≠0）7.等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1（是关于n的正比例式）；当q≠1时，Sn=Sn=8.等比中项公式：G=（ab>0，有两个值）9.等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m－Sm、S3m－S2m、S4m－S3m、……仍为等差数列。10.等差数列{an}中，若m+n=p+q，则11.等比数列{an}中，若m+n=p+q，则12.等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m－Sm、S3m－S2m、S4m－S3m、……仍为等比数列（m为偶数且公

4、比为－1的情况除外）。13.两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an－bn}仍为等差数列。14.两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an·bn}、、仍为等比数列。15.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。16.等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。17.三个数成等差的设法：a－d，a，a+d；四个数成等差的设法：a－3d，a－d，a+d，a+3d18.三个数成等比的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设法：a/q3，

5、a/q，aq，aq3（因为其公比为>0，对于公比为负的情况不能包括）19.{an}为等差数列，则（c>0）是等比数列。{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn}（c>0且c1）是等差数列。【典型例题】例1.公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列，求公比q解：设等差数列的通项an=a1+（n－1）d（d≠0）根据题意得a32=a2a6即（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d）解得所以例2.设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、b

6、n+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn。解：依题意得：2bn+1=an+1+an+2①a2n+1=bnbn+1②∵an、bn为正数，由②得代入①并同除以得：∴为等差数列∵b1=2，a2=3，∴∴当n≥2时，又a1=1，当n=1时成立，∴例3.在等比数列{an}的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2an－1=128，前n项和Sn=126，求n和公比q解：∵{an}为等比数列∴a1·an=a2·an－1由a1·an=128，a1+an=66且a1最小得a1=2，an=

7、64解得∵2·qn－1=64，∴2n=64解得n=6，∴n=6，q=2例4.已知：正项等比数列{an}满足条件：①；②；求的通项公式解：易知，，由已知得①②①÷②得，即，∴①×②得即，即∴，即∴例5.在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am，am+2，am+1成等差数列。（１）写出这个命题的逆命题；（２）判断逆命题是否为真，并给出证明解：（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差

8、数列。（２）设{an}的首项为a1，公比为q由已知得2am+2=am+am+1∴2a1qm+1=a1+a1qm∵a1≠0q≠0，∴2q2－q－1=0∴q=1或q=－当q=1时∵Sm=ma1，Sm+2=（m+2）a1，Sm+1=（m+1）a1∴Sm+Sm+1≠2Sm+2∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列当q=－时∴Sm+Sm+1=2Sm+2∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真。点评：对公比进行分类是本题解