【教学设计】《 圆的一般方程》（北师大版）

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1、高中数学北师大版（必修二）畅言教育《圆的一般方程》◆教材分析圆的一般方程是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是掌握，又由于圆的一般方程中含有三个餐变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难，但是圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。◆教学目标【知识与能力目标】在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径。掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件；能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标

2、准方程．能用待定系数法求圆的方程；培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。【过程与方法目标】通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。用心用情服务教育高中数学北师大版（必修二）畅言教育【情感态度价值观目标】渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。◆教学重难点◆【教学重点】圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F。【教学难点】对圆的一般方程的认识、掌握和运用。◆课前准备◆电子课件调整、

3、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。◆教学过程一、导入部分已知圆心(a，b)，半径为r，写出圆的标准方程。二、研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。解：(x－a)2＋(y－b)2＝r2。上述方程能否化为二元二次方程的形式？答：能。若给出方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，能否判断它表示一个圆？可以，但有一定条件。给出二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，若该方程表示圆的方程，可否根据圆的标准方程确定成立的条件？答：可以。2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（1）方程x2+y2+Dx+

4、Ey+F=0表示的图形方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＜0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点（-D2，-E2）用心用情服务教育高中数学北师大版（必修二）畅言教育D2＋E2－4F＞0表示以（-D2，-E2）为圆心，以12D2+E2-4F为半径的圆（2）圆的一般方程当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0为圆的一般方程。注意：圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0具有以下特征：①x2项和y2项的系数相等，且不为零。②是二元二次方程且没有xy这样的二次项。③参数D、E、F满

5、足D2＋E2－4F>0。三、质疑答辩，发展思维1.举例：圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　)A．(4，－6)，r＝16　B．(2，－3)，r＝4C．(－2,3)，r＝4D．(2，－3)，r＝16解析：方程化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2,3)，半径为4。答案：　C2.思考：圆的标准方程和一般方程的形式是怎样对应的？解：条件标准方程一般方程圆心在原点x2＋y2＝r2(r≠0)x2＋y2－r2＝0(r≠0)圆过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上(x－a)2

6、＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2x2＋y2＋Dx＝0圆心在（a，b）(x－a)2＋（y-b）2＝r2x2＋y2＋Dx+Ey+F＝03.例题例1判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径。解：法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一

7、个点；当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r=12D2+E2-4F=5m-2。法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；用心用情服务教育高中数学北师大版（必修二）畅言教育当m≠2时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r=5m-2。例2已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．解析：法一：设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，把A(0,5)，B(1，－

8、2)，C(－3，－4)代入上述方程，整理得5E+F+25=0D-2E+F+5=03D+4E-F-25=0解之得D=6E=-2F=-15则所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.配方得(