《正弦定理》（人教）

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1、高中数学人教A版（必修5）畅言教育《1.1.1.正弦定理》◆教材分析本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系、判定三角形的全等都有密切的联系，解三角形问题域前面所学三角函数也紧密相连，两个定理在日常生活和工业生产中有十分广泛的应用，可以说本节既是初中三角形边角关系的延续，又是三角函数知识在三角形中的一个应用，在必修教材中占有十分重要的地位。◆教学目标【知识与能力目标】通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。【过程与方法目标】让学生从已有的几何知识出发,共

2、同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。【情感态度价值观目标】培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。用心用情服务教育高中数学人教A版（必修5）畅言教育◆教学重难点◆【教学重点】通过对于三角形的边角关系的探究，证明正弦定理并用它解决有关问题。【教学难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。◆课前准备◆电子

3、课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。◆教学过程一、导入部分如图(图1．1-1)，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、研探新知，建构概念在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,则。从而在直角三角形ABC中，思考：那么

4、对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据用心用情服务教育高中数学人教A版（必修5）畅言教育任意角三角函数的定义，有CD=,则，同理可得，从而思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作，由向量的加法可得则∴∴，即同理，过点C作，可得从而类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一

5、个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，从而正弦定理可解决两类有关解三角形的问题：用心用情服务教育高中数学人教A版（必修5）畅言教育①已知两边与任一边，求其他两边和一角；②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边和角。解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。三、质疑答辩，发展思维例1．在中，已知，，cm，解三角形。

6、解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，因为＜＜，所以，或⑴当时，，⑵当时，，评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。探究：利用正弦定理解三角形时，解的个数问题已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:用心用情服务教育高中数学人教A版（必修5）畅言教育⑵若A为直角或钝角时:变式训练：1根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：（1），，，求

7、（2），，，求（3），，，求（4），，，求解：（1）,只能为锐角,因此仅有一解。（2）,只能为锐角,因此仅有一解。（3）∵,即,∴仅有一解。（4）由（3）改编，∵，由图知，本题无解)四、课堂小结：（1）正弦定理：（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。五、作业布置：第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（2）题。◆教学反思略。用心用情服务教育