《2.1.1 合情推理》同步练习（一）

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1、《2.1.1课时作业》同步练习（一）一、填空题图2－1－51．如图2－1－5所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是________色．【解析】　通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，所以36＝35＋1＝5×7＋1.得第36颗珠子一定为白色的．【答案】　白2．(2013·无锡高二检测)如图2－1－6所示，第n个图形中，小正六边形的个数为________．图2－1－6【解析】　a1＝7，a2＝7＋5＝12，a3＝12＋5＝17，∴an＝7＋5(n－1)＝5n＋2.【答案】　5n＋23．正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左

2、起第2006列的数应为________．【解析】　第2006行的第一个数为20062，第2005行的第2006列的数是以20062为首项，－1为公差的等差数列的第2007项，∴该数为20062＋(－1)×2006＝2005×2006.【答案】　2005×20064．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________．【解析】　从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】　1235．根据给出的数塔猜测123

3、456×9＋7等于________．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111【解析】　等号右边应为n＋1个“1”．【答案】　11111116．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形图2－1－7那么下列图形中，图2－1－8可以表示A*D，A*C的分别是________．【解析】　由已知图形，抓共性不难总结出：A“

4、”，B“□”(大)，C“—”，D“□”(小)．故A*D为(2)，A*C为(4)．【答案】　(2)，(4)7．经计算发现下列不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，…根据以上不等式的规律，试写出

5、一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________．【解析】　∵＝10，＝10，＝10，∴不难得出，若a＋b＝20，＋＜2.【答案】　若a＋b＝20，则＋＜28．(2013·镇江高二检测)设函数f(x)＝(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．【解析】　函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.分母中常数项依次

6、为2，4，8，16，…，其通项为2n.又函数中，分子都是x.∴当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.【答案】　二、解答题9．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立，在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中的不等式，为什么？【解】　不等式左边和式个数分别为3，4，5，…时，不等式右边的数依次为，，，…，其分子依次为32，42，52，…，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，….故当不等式左边和式个数为n个时，归纳猜想右边应为(n≥3，n∈N*)，故所求为＋＋…＋≥(n≥3，n∈N*)．10．已知数列

7、{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．【解】　当n＝1时，S1＝a1＝1；当n＝2时，＝－2－S1＝－3，∴S2＝－；当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－；当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.猜想：Sn＝－(n∈N*)．11．观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－

8、1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.求m－n＋p的值．【解】　观察等式可知，cosα的最高次项的系数：2，8，32，128构成了公式比为4的等式数列，故m＝128×4＝512；取α＝0，则cosα＝1，cos10α＝1，代入等式⑤，得1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350.(1)取α＝，则cosα＝，cos10α＝－，代入等式⑤，得－＝m()10－1280×()8＋1120×()6＋n×()4＋p×(