《2.1.1 合情推理》同步练习（二）

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1、《2.1.1课时作业》同步练习（二）一、填空题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【解析】　“边的中点”类比为“各面的中心”．【答案】　中心2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．【解析】　乘积类比和，幂类比积．∴a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】　a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×93．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则

2、它们的体积比为________．【解析】　若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.事实上，由平面几何和立体几何的知识，可知很多比值在平面上成平方关系，在空间内成立方关系．【答案】　1∶84．在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为________．【解析】　平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，对应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．【答案】　在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：(1)“mn＝nm”类比得“a·b＝b·a”；(2)“(

3、m＋n)t＝mt＋nt”，类比得“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；(3)“

4、m·n

5、＝

6、m

7、·

8、n

9、”类比得“

10、a·b

11、＝

12、a

13、·

14、b

15、”；(4)“＝”类比得“＝”．以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是________．【解析】　(1)(2)均正确，(3)(4)不正确．【答案】　(1)(2)6．已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________．【解析】　原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S＝ah＝3×ar⇒r＝h.类比，用等体积法，V＝Sh＝4×r·S⇒r＝h.【答案】　正四面体的内切球的半径是高的7．对于大于1的自然数m的n次幂

16、可用奇数进行如图2－1－9所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a＋b＝________．图2－1－9【解析】　，，∴a＝21，b＝9，则a＋b＝30.【答案】　30图2－1－108．如图2－1－10所示，对于函数y＝x2(x＞0)图象上任意两点A(a，a2)，B(b，b2)，线段AB必在曲线段AB的上方，点C分向量的比为λ(λ＞0)，过C作x轴的垂线，交曲线段AB于C′，则由图象中点C在点C′的上方可得不等式＞()2.请分析函数y＝lnx(x＞0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是________．【解析】　y＝x2的图象在x

17、＞0时，图象下凹，且A(a，a2)，B(b，b2)，所以点C的纵坐标是，点C与点C′的横坐标都是，而点C′在曲线y＝x2上，点C在点C′上方，所以yC＝＞yC′＝()2.y＝lnx的图象如图所示，图象上凸，∴yC＜yC′，类比可得＜ln(a＞0，b＞0)．【答案】　＜ln(a＞0，b＞0)二、解答题9．已知：等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：(1)通项an＝am＋(n－m)·d.(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq.(3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，则am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n/Sn，S3n/S2n构成等

18、差数列．类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．【解】　设等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn.(1)通项an＝am·qn－m.(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*，则am·an＝ap·aq.(3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，则a＝am·an.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．10．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1.请在立体几何中给出四面体性质的猜想．【解】　如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝()2＋()2＝＝1.于是把结论类比到如图所示的四面体P－A′B′C′中，我们猜想：在三棱

19、锥P－A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.11．在等腰△ABC中，AB＝AC，设P为底边上任意一点，P到两腰的距离分别为h1，h2，B到腰AC的距离为h，则h1＋h2＝h，类比到空间：在等腰四面体ABCD(对棱分别相等)中，有什么类似的结论？并给出证明．【解】　类比可得到如下结论：在等腰四面体ABCD中，设P为底面上任意一点，P到三个侧面的距离分