《2.2.1 直接证明》导学案

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1、第6课时　直接证明(2)　教学过程一、问题情境复习回顾:1.直接证明的一般形式为:错误！未找到引用源。⇒…⇒本题结论2.(1)综合法与分析法要点对照表[K]综合法分析法定义从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止[来源:学科网]从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止思维过程原因⇒结果,又名“顺推证法”,“由因导果法”由结果追溯原因,又名“追溯证法”,“执果索因法”思维特点从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其推理实际上是寻找必要条件从“未知”看“需知”,逐步靠拢“

2、已知”,其推理实际上是寻求充分条件步骤已知条件⇒…⇒…⇒结论结论⇐…⇐…⇐已知条件　　(2)对分析法证题的说明“若A成立,则B成立”,此命题用分析法证明的一般步骤如下:要证明(或为了证明)B成立,只需证明A1成立(A1是B成立的充分条件),要证A1成立,只需证明A2成立(A2是A1成立的充分条件)……要证明Ak成立,只需证明A成立(A是Ak成立的充分条件),因为A成立,所以B成立.注:①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件,但绝不能是必要不充分条件;②在寻求充分条件时,要联系已知条件,即在一系列可以证明结论的条件中,与题设条件较为接近的条件,才是我们所需要的;③“只需

3、证明”“为了证明”“因为A成立,所以B成立”类似这些语言必须有,而且要用它们把每一步连结起来.二、数学运用【例1】　已知a>b>c,求证:错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≥0.[1](见学生用书P43)[处理建议]　本题用综合法不容易找到证题思路,因此用分析法探路.[规范板书]　要证原不等式成立,由a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0,因此移项,只需证错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。.通分,得错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。,即证错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。.只需证(a-

4、c)2≥4(a-b)(b-c)成立.因为4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)]2=(a-c)2,所以错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。,即错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。≥0,所以错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≥0.[题后反思]　(1)分析法和综合法是两种常用的解题方法,但有时候我们常常把这两种方法结合起来使用效果更好.(2)用分析法寻找思路,用综合法表述过程.分析法解题方向较为明确,有利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表述.因此,在实际解题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程.

5、变式1　若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg错误！未找到引用源。+lg错误！未找到引用源。+lg错误！未找到引用源。>lga+lgb+lgc.[规范板书]　证法一　(分析法)要证lg错误！未找到引用源。+lg错误！未找到引用源。+lg错误！未找到引用源。>lga+lgb+lgc,只需证lg错误！未找到引用源。>lg(abc),只需证错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。>abc.又错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。>0,错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。>0,错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。>0.且上述三式中的等号

6、不全成立,所以错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。>abc.因此lg错误！未找到引用源。+lg错误！未找到引用源。+lg错误！未找到引用源。>lga+lgb+lgc.注:这个证明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是综合法.证法二　(综合法)因为a,b,c是不全相等的正数,所以错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。>0,错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。>0,错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。>0.所以错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。>abc,所以lg错误！未找到引用源。>lg(abc),

7、所以lg错误！未找到引用源。+lg错误！未找到引用源。+lg错误！未找到引用源。>lga+lgb+lgc.变式2　设a,b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.[规范板书]　证法一　(分析法)要证a3+b3>a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,即需证a2-ab+b2>ab成立,(因为a+b>0)只需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立.而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0显然成立.所以原不等式成立.证法二　(综合法)因为a≠b,所以a