2.2.1《直接证明》教案

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1、2.2.1《直接证明》教案教学目标1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的基本方法:综合法;了解综合法的思考过程、特点.2.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]教学重点、难点⑴综合法的证明过程和应用.⑵分析法的证明过程和应用.教学过程一、自学导航1、问题:如图,四边形ABCD是平行四边形求证:AB=CD,BC=DA[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]证明::连结AC,∵四边形ABC

2、D是平行四边形∴AB∥CD,BC∥CD故∠1=∠2,∠3=∠4 又∵AC=CA∴⊿ABC≌⊿CDA∴AB=CD,BC=DA思考:以上证明方法有什么特点?2、观察下面问题的证法:[来*源:中&国^教育出~版网@]设a、b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.证明:要证a3+b3>a2b+ab2成立,   只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,   即需证a2-ab+b2>ab成立.(∵a+b>0)   只需证a2-2ab+b2>0成立,   即需证(a-b)2>0成立.   而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a

3、-b)2>0显然成立,由此命题得证.思考:以上证明方法有什么特点?__________________________.二、探究新知 1.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的,这种证明通常称为直接证明.常用的直接证明方法有综合法与分析法.  (1)综合法与分析法要点解析表 (2)对分析法证题的说明    “若A成立,则B成立”,此命题用分析法证明的步骤如下:要证明(或为了证明)B成立,只需证明成立(是B成立的充分条件),要证成立,只需证明成立(是成立的充分条件),…,要证明成立,只需证明A成立(A是成立的充分条件),∵A成立,∴B成立.www.ks5u

4、.com注:①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件,但绝不能是必要不充分条件;②在寻求充分条件时,起调控方向作用的是本题条件.即在一系列可以证明结论的条件中,与本题条件较为接近的条件,才是我们所需要的;    ③“只需证明”、“为了证明”、“∵A成立,∴B成立”类似这些语言必须有,而且要用它们把每一步连结起来. (3)综合法和分析法的优缺点  分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述繁琐,且容易出错.[中国%^教*育@出~版网]综合法条理清晰,宜于表述,缺点是探路艰难,易生枝节.因此,在实际解题时,常把二者交互使用,互补优缺,形成了分析综合法.先以分析法

5、为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程.对于较复杂的问题,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,则原命题得证.三、例题精讲:[中国教#育*&出版^网@]例1、课本例1(分别用综合法和分析法证明)例2、已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明:因为b2+c2≥2bc,a>0,所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.[来源:%中*&教网@~]例3、

6、已知,求证:.  分析:本题用综合法不容易找到证题思路,因此用分析法探路.  要证原不等式成立,  由,得,,,[来源:www.shulihua.net]  因此移项,只需证.[来~源^@:中教&网%]  通分,得,  即证.[来%源:中教@~网^&]  只需证成立.思路找到.  证明:∵, ∴,,.∴.∴,  即,∴.点评:分析法解题方向较为明确,有利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表述.因此,在实际解题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程例4、若a,b,c是不全相等的正数,求证:[来源:www.shulihua.netwww.s

7、hulihua.net].  证明:要证,[来@源:中*&国教%育#出版网]  只需证,  只需证.  又,,.  且上述三式中的等号不全成立,所以  c.  因此.[来源~:#^@中国%教育出版网]  注:这个证明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是综合法.四、课堂精练[zzste*@p.%^co~m]课本P81练习1、2、3、4练习:1.,求证:2.,求证:分析:要证只需证明只需证明只需证明证明:[来源:^%中国教育&出版~#网][来@源:中*&~国%教育出版网]所以原命题成立。3.△ABC三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证:∠B<900证明:[来

8、源:zz*ste^&p.co~m%]因

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