《1.5.2 球坐标系》导学案1

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1、《1.5.2球坐标系》导学案1学习目标1．了解在球坐标系中刻画空间点的位置的方法．2．掌握点的坐标系之间的互化，并能解决简单的实际问题．学习重点了解在球坐标系中刻画空间点的位置的方法．学习难点运用球坐标系解决问题.学习过程一、知识导入1．球坐标系设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图)．这样的三个数r，φ，θ

2、构成的有序数组(r，φ，θ)叫作点M的______，这里r，φ，θ的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π，特别地，r＝常数，表示的是____________；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面．点M的直角坐标与球坐标的关系为【做一做2－1】设点M的球坐标为，则它的直角坐标是__________．【做一做2－2】将点M(1，－1，)化成球坐标为__________．二、问题思考1.在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？剖析：我们已经学习了

3、数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系．有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．有些图形没有互相

4、垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．三、典型例题1．球坐标　以原点为球心的球面　rsinφcosθ　rsinφsinθ　rcosφ【做一做2－1】(－1,1，－)　由公式得∴点M的直角坐标为(－1,1，－)．【做一做2－2】　设点M的球坐标为(γ，φ，θ)，则r＝＝2，tanφ＝＝＝，由0≤φ≤π，知φ＝，又tanθ＝＝＝－1,0≤θ＜2π，x＞0，∴θ＝.∴M(1，－1，)的球坐标为球坐标与直角坐标的互

5、化【例2】将点M的直角坐标化为球坐标，点P的球坐标化为直角坐标．(1)M(1，，2)；(2)P.分析：利用相关公式代入进行转化求值．反思：由点M的直角坐标化为球坐标时，可以先设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式求出r，φ，θ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cOsφ＝.由直角坐标求球坐标，在确定θ和φ的取值时，要特别注意θ和φ的取值范围以及点M的位置，由球坐标化为直角坐标时，可直接代入变换公式，计算x，y，z的值即可．四、当堂练习1.在球坐标系中，M与N两点间的距

6、离是__________．2.设点A的柱坐标为，则它的球坐标为__________．五、课后作业