《1.1.2 类比推理》同步练习 2

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1、《1.1.2类比推理》同步练习一、选择题1．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是(　　)A．三角形　　　　　　　B．梯形C．平行四边形D．矩形【解析】　只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.【答案】　C2．关于合情推理的说法不正确的是(　　)①合情推理是“合乎情理”的推理，因此其猜想的结论一定是正确的；②合情推理是由一般到特殊的推理；③合情推理可以用来对一些数学命题进行证明；④归纳推理是合情推理，因此合情推理就是归纳推理A．①④B．②④C．③④D．①②③④【解析】　根据合情推理的定义可知，归纳推理与类比推理统称为合情推理，其中的归纳推理是由部分到整体，由

2、个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，他们的结论可真可假，但都不能用来证明数学命题，因此①②③④均不正确．【答案】　D3．下列几种推理过程是类比推理的是(　　)A．两直线平行，内错角相等B．由平面三角形性质，猜想空间四面体性质C．由数列的前几项，猜想数列的通项公式D．某校高二年级有10个班，1班51人，2班53人，3班52人，猜想各班都超过50人【解析】　四个选项中，只有B为类比推理，故选B.【答案】　B4．下列类比推理：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(a＋b)类比，则有sin(a

3、＋b)＝sinab；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3【解析】　由类比定义知①②的结论错，③的结论正确．【答案】　B5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面积公式S扇等于(　　)A.B.C.D．不可类比【解析】　由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式．【答案】　C二、填空题6．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为_____

4、___．【解析】　由面积公式和体积公式的特点可以知道，面积是二条线乘积，而体积涉及到三条线段乘积，故体积比应是棱长比的立方，即1∶8.【答案】　1∶87．已知{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，有________．【解析】　由等差、等比数列的运算的类比“和―→积，差―→商，积―→乘方”得a·a·a＝1.【答案】　a·a·a＝18．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝，将此结论类比到空间有_____________________

5、______________.【解析】　Rt△ABC类比到空间为三棱锥A－BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A－BCD的外接球．【答案】　在三棱锥A－BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A－BCD的外接球半径R＝.三、解答题9．在椭圆中，有一结论：过椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不在顶点的任意一点P与长轴两端点A1、A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为－，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．【解】　过双曲线－＝1上不在顶点的任意一点P与实轴两端点A1、A2连线，则直线PA1与P

6、A2斜率之积为.证明如下：设点P(x0，y0)，点A1(a，0)，A2(－a，0)．椭圆中：kPA1·kPA2＝·＝＝＝－；双曲线中：kPA1·kPA2＝＝＝.10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．图①【解】　如图①所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝＝＝.又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.所以＝＋.类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.图②如图②，连接BE并延长交CD于

7、F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋，∴＝＋＋，故猜想正确．11．在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论．【解】　设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD