二次函数的图象与性质（2）

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1、二次函数的图象与性质（七）　　[本课知识要点]　　会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．　　[回顾及创新思维]　　一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？　　 [实践与探索]    　　例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离

2、为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？　　分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．　　解 由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），　　又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得                　　                                      

3、　　所以                    ．　　因此，函数关系式是．　　例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．　　（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；　　（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；　　（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；　　（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．　　分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为

4、的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入，即可求出a的值．　　解 （1）设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c=-1．又由于其图象过

5、点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到　　　　解这个方程组，得　　a=2，b=-1．　　所以，所求二次函数的关系式是．　　（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为，　　又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到　　　　                                             解得 ．　　所以，所求二次函数的关系式是．　　（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），　　所以设二此函数的关系式为．　　又由于抛物线与y轴交于点（0，3

6、），可以得到　　                        ．　　                                             解得 ．　　所以，所求二次函数的关系式是．　　（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．　　回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：　　（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．

7、　　（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．　　（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求．　　[当堂课内练习]　　1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．　　（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；　　（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；　　（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．　　2．二次函数图象的对称轴是x=-1，与y轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2

8、，10），求此二次函数的关系式．　　[本课课外作业]A组　　1．已知二次函数的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），　　（1）求该二次函数的关系式；　　（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．　　2．已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式．　　3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一