《两角和与差的正弦》习题

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1、《两角和与差的正弦》习题一、选择题1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(　　)A．B．C．D．2．sin245°sin125°＋sin155°sin35°的值是(　　)A．－B．－C．D．3．若锐角α、β满足cosα＝，cos(α＋β)＝，则sinβ的值是(　　)A．B．C．D．4．已知cosαcosβ－sinαsinβ＝0，那么sinαcosβ＋cosαsinβ的值为(　　)A．－1B．0C．1D．±15．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)A．1B．2C．1＋

2、D．2＋6．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sinC＝2cosAsinB，则三角形ABC一定是(　　)A．直角三角形B．正三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形二、填空题7．化简sin＋cos的结果是________．8．函数f(x)＝sinx－cosx的最大值为________．9．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是__________．10．式子的值是________．三、解答题11．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．12．证明：－2cos(α＋β)＝．能力提升1

3、3．已知sinα＋cos＝，则sin的值是________．14．求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值．参考答案：1．A2．B　[原式＝－sin65°sin55°＋sin25°sin35°＝－cos25°cos35°＋sin25°sin35°＝－cos(35°＋25°)＝－cos60°＝－．]3．C　[∵cosα＝，cos(α＋β)＝，∴sinα＝，sin(α＋β)＝．∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝．]4．D　[cosαc

4、osβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)＝0．∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)＝±1．]5．B　[f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2(cosx＋sinx)＝2sin(x＋)，∵0≤x<，∴≤x＋<．∴f(x)max＝2．]6．C　[∵sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB∴sinAcosB－cosAsinB＝0．即sin(A－B)＝0，∴A＝B．]7．cosα解析　原式＝sincosα＋cossinα＋coscosα－si

5、nsinα＝cosα．8．解析　∵f(x)＝sinx－cosx＝＝＝sin，∴f(x)的最大值为．9．解析　∴，∴＝＝．10．解析　原式＝＝＝＝tan60°＝．11．解　因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<．又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，所以sin(α－β)＝＝＝，cos(α＋β)＝－＝－＝－．所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－．12．证明　－2cos(α＋β)＝＝＝＝＝．13．－解析　sinα＋cos＝sinα＋cosα

6、cos＋sinαsin＝sinα＋cosα＝＝＝sin＝．∴sin＝．∴sin＝－sin＝－．14．解　设sinx＋cosx＝t，则t＝sinx＋cosx＝＝sin，∴t∈[－，]，∴sinx·cosx＝＝．∴f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．当t＝－1，即sinx＋cosx＝－1时，f(x)min＝－1．此时，由sin＝－，解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z．当t＝，即sinx＋cosx＝时，f(x)max＝＋．此时，由sin＝，sin＝1．解得x＝2kπ＋，k∈Z．

7、综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取最小值且f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋．