两角和与差的正弦(案例)

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1、两角和与差的正弦江苏省苏州市第十中学吴锷一、目标定位在普通高中《数学课程标准（实验）》中，对两角和与差的正弦的要求是：能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，了解它们之间的内在联系，并由此为基础进行简单的三角恒等变形（包括积化和差、和差化积公式，但不要求记忆）．本节内容（“两角和与差的正弦”）的具体目标为：能从两角和与差的正弦公式的推导过程中体会化归思想的应用；掌握两角和与差的正弦公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.根据《课程标准》的要求，本节的目标定位如下：1．从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，体会化归思想的应用，了解公式

2、之间的内在联系，理解两角和与差的正弦、余弦四个公式中，只要证明其中任意一个就能利用化归思想推导其余三个。这是一个过程性的目标.2．使学生通过独立探索和讨论交流，自主完成例题、习题中的相关运算，从不同角度应用公式，即公式的“正用”、“逆用”以及“创造条件使用公式”，从而达到提高学生运用公式的能力.二、多向对比1．与原大纲相比，两角和与差的三角函数都是必修的数学内容，体系地位基本相同.普通高中数学课程标准原数学教学大纲课题两角和与差的正弦两角和与差的正弦、余弦、正切体系地位必修（必修4）必修（第一册（下））教学目标能从两角和与差的正弦公式的推导过程中体会化归思想

3、的应用；掌握两角和与差的正弦公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.从不同角度应用公式，即公式的“正用”、“逆用”以及“创造条件使用公式”，从而达到提高学生运用公式的能力.（1）明确两角和与差的的三角函数的意义，即用单角的三角函数表示两角和与差的的三角函数.（2）理解余弦和角公式是基础，能用余弦公式推导其他两角和与差的三角函数公式并了解其内在联系.（3）能运用它们进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明.2．不同的版本处理的差异说明：这里选择人教A、人教B与苏教版加以对比．苏教版人教A版人教B版课时2课时1课时1课时分类有有有例题说明例题

4、大致分成两类（公式的直接应用和公式的综合应用）例1（直接套用公式）例2（直接套用公式）例3（逆用公式）例题大致分为两类（公式的“正用”和公式的“逆用”）例3（直接套用公式）例4（逆用公式）例题大致分成两类（公式的直接运用和应用公式解决实际问题）例1（直接套用公式）例2、例3解决向量的旋转问题.例4（通过变角综合运用公式，即正用和逆用公式）例5（综合运用公式，即创造条件运用公式）例6（利用公式变形解决两角和差的综合问题）注：本节内容比较注重公式的变形和灵活运用.注：本节内容将两角和与差的正弦、余弦、正切公式一气呵成，例题较为简单，只要求学生掌握公式最基本的的运

5、用.例4构造辅助角求三角函数的最值.例5利用两角和与差的正弦公式解决实际问题.注：本节内容注重公式的实际应用（数学本身的应用和实际生活中的应用）.方法提炼小结有明显的方法小结.没有明显的方法小结，但配有探究性的思考问题.没有明显的方法小结.练习、习题练习8题.主要是公式的直接应用.习题分3个层次共14题.感受·理解（8题）思考·运用（4题）探究·拓展（2题）主要是体现为不同角度（公式的“正用”、“逆用”以及“创造条件运用”）运用公式解决问题.练习6题.主要是公式的直接运用（包括“正用”和“逆用”）.习题无明显分类，共14大题，除第4、5、8、13、14（1）

6、（2）（3）（4）（9）（10）外其余都是直接运用公式.练习按难易分为A、B两类共8题.A组1（1）－（3）、3，B组1为公式的“正用”.A组1（4）（5）、2，4，B组3为公式的“逆用”.B组2、4为实际应用.习题按难易分为A、B两类.A组4题，B组2题.主要为公式的常规运用.阅读拓展弦表与托勒密定理无和角公式与旋转对称结论：各套教材均严格按课标要求处理此部分内容，所有的教学目标、内容体系均未超出课标的要求．相对来讲，苏教版分类清晰，点拨到位，例题、习题要求较高，有一定的灵活性和思考量．1．老教材将两角和与差的正弦、余弦、正切一气呵成，对公式的处理手段与苏

7、教版类似，所配例题较少，公式应用分类不够清晰，缺乏方法点拨，学生自主学习有一定困难．但课后配有大量的练习和习题，意在通过训练掌握运用公式的规律，以达到提高解决问题的能力．三、案例聚焦1．两角和与差的正弦公式如何推导，回顾余弦公式的向量证法，利用向量旋转的知识可以求得两角和的正弦公式，此证法建立在模仿两角和与差的余弦基础上；而化归思想是数学的重要思想方法，以已有的余弦公式为基础，利用诱导公式进行推导显得轻松和谐．可以让学生自己进行比较．2．如何用好公式解题是关键，为了克服这一难点，除讲清公式的特点和用途外，还需要训练从正面直接套用公式，从反面逆用公式，更要能创

8、造条件使用公式，教材中例1－例6就是从这几个层面上来