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1、二、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_______一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 __________.2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ _____ ________，a－b＝_____ ________，λa＝_____ ________，
2、a
3、＝_____ ________.(
4、2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_____ ________，
5、
6、＝_____ ________.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共线⇔_____ ________.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一
7、个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )1．设e1，e2是平面内一组基底，那么( )A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝__
8、______.3．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为__________．4．设0＜θ＜，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．答案 (1,5)题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )A.B.C.D.(2)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，
9、则实数m的值为________．思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． (1)在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________.(用e1，e2表示)(2)如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝___________________________________________________________.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a＝(5
10、，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )A.B.C.D.(2)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量A同方向的单位向量坐标为________．思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． (1)已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为( )A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)(2)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(
11、)A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________
