《二面角及其度量》同步训练2

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1、《3.2.4两面角及其度量》同步训练1一．选择题（共7小题）1．如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与C两点间的距离是（　　）A．B．C．1D．2．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（　　）A．B．C．24D．6π3．已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，B∈β，A、B到棱l的距离相等，直线AB与平面β所成的角为30°，则AB与棱l所成的角的余弦是（　　）A．B．C．D．4．在正方体ABCD﹣A

2、1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin＜，＞的值为（　　）A．B．C．D．5．平面α，β的法向量分别是=（1，1，1），=（﹣1，0，﹣1），则平面α，β所成角的正弦值是（　　）A．B．C．D．6．如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥DB，若AB与CD所成的角的大小为60°，则二面角C﹣BD﹣A的大小为（　　）A．60°或90°B．60°C．60°或120°D．30°或150°7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在半径为的球面上，AB=AC=，AA1=2，则二面角B﹣AA1﹣C的余弦值为（　　）A．﹣B．﹣C．D．

3、二．填空题（共4小题）8．如图所示：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1，则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为　　　　　　．9．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．10．若a、b是直线，α、β是平面，a⊥α，b⊥β，向量在a上，向量在b上，，，则α、β所成二面角中较小的一个余弦值为　　　　　　．11．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=9

4、0°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小的余弦；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．　《3.2.4两面角及其度量》同步训练1参考答案一．选择题（共7小题）1．D2．D解：由AB⊥BC，得△ABC的外接圆的圆心O′为AC中点，连接SO′，BO′，由SA=SC和AB=BC有SO′⊥AC，BO′⊥AC而四面体外接球的球心O在平面SO′B内，连接OO′，有OO′⊥底面ABC将平面SO′B取出，则BO′=1，SO′=用余弦定理可得cos∠SO′B=∴SB=作SB的中垂线，过O′作BO′的垂线，两者必相交于O，用余弦定

5、理，cos∠O′BS=如图，BE=O′B÷cos∠O′BS==也就是D，E，O三点重合了外接圆的半径R=OB=∴球的表面积是4πR2=6π故选D．3．B解：如图，∵直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，B∈β，A、B到棱l的距离相等，直线AB与平面β所成的角为30°，作AC⊥l，交l于点C，作BD⊥l，交l于点D，取BD中点E，取AC中点G，于C∩中点F，则FG，EF，AC=BD，AC⊥平面β，BD⊥平面α，∠ABC=30°，∴∠EFG是AB与棱l所成的角（或补角），设AC=BD=1，则BC=AD=，AB=2，CD=，∴EF=，FG=1，GE==，∴cos∠EF

6、G==﹣，∴AB与棱l所成的角的余弦是．故选：B．4．B5．A6．C7．D二．填空题（共4小题）8．9．310．11．证明：（Ⅰ）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC．∵AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz．则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．设P（0，0，t）．∵

7、PB

8、=

9、AB

10、=2，∴t=2，P（0，0，2）．取AP中点E，连结BE，CE．∵

11、AC

12、=

13、PC

14、，

15、AB

16、=

17、BP

18、，∴CE⊥AP，BE⊥AP．∴

19、∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．∵E（0，1，1），∴，=（2，﹣1，﹣1），∴cos=．（Ⅲ）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C﹣xyz．∵BH=2HE，∴点H的坐标为（，，）．∴

20、

21、=，∴点C到平APB的距离为．