《3.3.3导数的实际应用》教学案3

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1、《3.3.3导数的实际应用》教学案教学目标(1)了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值.(2)会利用导数解决某些实际问题.教学重难点解决实际生活中的最优化问题教学过程一、情境创设在经济生活中，人们经常遇到最优化问题.例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的方法之一.现在我们研究几个典型的例子.二、例题解析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动

2、，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm，此时四周空白面积为.求导数，得.令，解得舍去).于是宽为.当时，<0；当时，>0.因此，是函数的极小值，也是最小值点.所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小.答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小.例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1)你是否注意过，

3、市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是令解得(舍去)当时，；当时，．当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，它表示单调递减，即半径越大，利润

4、越低．(1)半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．(2)半径为cm时，利润最大．换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm时，利润最小．例3.磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径

5、所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit).为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于.为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．(1)是不是越小，磁盘的存储量越大？(2)为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数.设存储区的半径

6、介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达.所以，磁盘总存储量×(1)它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．(2)为求的最大值，计算．令，解得当时，；当时，．因此时，磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为四、随堂练习1.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a

7、≤bf(a)　　　　　　B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b)D．bf(b)≤f(a)2.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率).(Ⅰ)将表示成的函数，并求该函数的定义域；z(Ⅱ)讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大.z3．已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．(1)当a

8、＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值；(3)当a＝－1时，试推断方程

9、f(x)

10、＝＋是否有实数解．4.若函数f(x)=lnx-ax2-2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围.五、回顾反思