2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.3.3导数的实际应用学案新人教B版

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1、3.3.3　导数的实际应用学习目标核心素养1.能利用导数解决实际问题．(重点)2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识．(难点).通过利用导数解决实际问题的学习，培养学生的数学建模、数学运算素养.生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为(　　)A．2和6　　　　B．4和4C．3和5D．以上都不对B　[设一个数为x，则另一个数为8－x，其立方和y＝x

2、3＋(8－x)3＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，则y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.]2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A．13万件　　B．11万件C．9万件D．7万件C　[定义域为(0，＋∞)，令y′＝－x2＋81＝－(x＋9)(x－9)＝0得x＝9或x＝－9(舍)，当x∈(0,9)时，f′(x)＞0；当x∈(9，

3、＋∞)时，f′(x)＜0.∴x＝9为函数的极大值点也是最大值点，∴该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]3．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．6cm　3cm　4cm　[设底面宽为x，则长为2x，高为＝(0＜x＜6)，∴S表面积＝4，令S′＝＝0得x＝3，当x∈(0,3)时，S′＜0；当x∈(3,6)时，S′＞0，∴x＝3为函数的极小值点也是最小值点，∴长为6cm，宽为3cm，高为4cm时可使表面积最小．]用料最省(成本最低)问题【例1】　一艘轮船在航行

4、中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？[思路探究]　→→→→→→[解]　设速度为每小时v千米的燃料费为每小时p元，由题意得p＝k·v3，其中k为比例常数，当v＝10，p＝6，解得k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.设当速度为每小时v千米时，行1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行1千米所需时间为小时，所以行1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋，q′＝0.012v－＝(v3－8000)，

5、令q′＝0，解得v＝20.因为当v<20时，q′<0；当v>20时，q′＞0，所以当v＝20时取得最小值．即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小．解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值.1．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单元：万元)与隔热层厚度x(单位

6、：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解]　(1)设隔热层厚度为xm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝.再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6.解得x＝5或x＝－(舍去)．当0＜x＜5时，f

7、′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元.利润最大问题【例2】　当前，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的函数关系式为y＝＋4(x－6)2，其中2