《1.3.3 球体的表面积和体积》（数学人教a版必修2）

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1、人民教育出版社高中必修2畅言教育《1.3.3球的表面积和体积》培优练习本课时编写：成都市第二十中学付江平一、选择题1．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则(　　)A．以上四个图形都是正确的B．只有(2)(4)是正确的C．只有(4)是错误的D．只有(1)(2)是正确的二、填空题2．正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为________．3．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球

2、过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．用心用情服务教育4人民教育出版社高中必修2畅言教育4.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9g/cm3)，每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是空心的还是实心的．如果是空心的，请你计算出它的内径(π取3.14，结果精确到1cm,2.243≈11.24098)．5.已知正四面体的棱长为a，求它外接球的体积及内切球的半径．参考答案用心用情服务教育4人民教育出版社高中必修2畅言教育一、选择题1．C【解析】正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆

3、)．二、填空题2.【解析】球内接正四棱锥各棱长为，则该球半径为1，所以球的体积为V＝π.三、解答题3．解　设正方体的棱长为a．如图所示．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2．②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2．③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2．综上可得S1∶S2∶S3＝1

4、∶2∶3．4．解：由于外径为50cm的钢球的质量为7.9×π×()3≈516792(g)，街心花园中钢球的质量为145000g，而145000<516792，所以钢球是空心的．设球的内径为2xcm，那么球的质量为79×[π×()3－πx3]＝145000.解得x3≈11240.98，∴x≈22.4,2x≈45(cm)．即钢球是空心的，其内径约为45cm.5．解：如图，设SO1是正四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO1上．设外接球半径为R.∵正四面体的棱长为a，O1为正△ABC中心，∴AO1＝×a＝a，SO1＝＝＝a，用心用情

5、服务教育4人民教育出版社高中必修2畅言教育在Rt△OO1A中，R2＝AO＋OO＝AO＋(SO1－R)2，即R2＝(a)2＋(a－R)2，[来源:学科网ZXXK]解得R＝a，∴所求外接球体积V球＝πR3＝πa3.∴OO1即为内切球的半径，OO1＝a－a＝a，∴内切球的半径为a.用心用情服务教育4