15椭圆的几何性质

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1、2.2.2椭圆的简单几何性质（一） 一、教学目标： （一）知识与技能：1．掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质．2．掌握a、b、c几何意义以及a、b、c的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。3能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，画椭圆图形．（二）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过

2、体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。（三）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。 二、教学重难点：重点：对椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质的探索．难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。三、教学过程例1求椭圆

3、16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．解：把已知方程化成标准方程这里a＝5，b＝4，所以椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，.焦点为F1(－3,0)、F2(3,0)，顶点是A1(−5,0)、A2(5,0)，B1(0,−4)、B2(0,4)．把已知方程化成标准方程x012345y43.93.73.22.40先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆．椭圆的简单作法:(1)以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；(2)由矩形四

4、边的中点确定椭圆的四个顶点；(3)用曲线将四个顶点连成一个椭圆.练习：1．说出下列各椭圆的长轴、短轴的长，离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图．（1）（2）2．下面每组的椭圆中，哪个更接近于圆？（1）8x2＋7y2＝56与8x2＋y2＝56（2）9x2＋4y2＝36与8x2＋4y2＝36例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P(－3,0)、Q(0,－2);解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点.即P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点.于是得

5、a＝3，b＝2.又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程是(2)由已知，2a＝20，∴a＝10，c＝6.∴b2＝102－62＝64.∵椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上,∴所求椭圆的标准方程为练习3求经过点P(4,1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.解：依题意有得故椭圆方程为例3已知椭圆的离心率为，求的值．解：依题意，，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在轴上，即时，有，∴，得；②当焦点在轴上，即时，有，∴．例4、如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地

6、球的中心）为一个焦点的椭圆。已知它的近地点（离地面最近的点）距地面，远地点（离地面最远的点）距地面，并且、、在同一直线上，地球半径约为，求卫星运行的轨道方程（精确到）．解：如图，建立直角坐标系，使点在轴上，为椭圆右焦点（记为左焦点），设椭圆标准方程为（），则，图①，解得：∴，所以，卫星的轨道方程是．五、回顾小结 1．椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴；2．掌握椭圆标准方程中a、b、c、e之间的关系。