椭圆的几何性质(1)

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1、一．课题：椭圆的几何性质（1）二．教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.三．教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质.四．教学过程：（一）复习：1．椭圆的标准方程.（二）新课讲解：1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标满足不等式，∴，，∴，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里.2．对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点

2、对称.所以，椭圆关于轴、轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即．4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率.∵，∴，且越接

3、近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为．（三）例题分析：例1．求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．解：把已知方程化为标准方程，，，学会学习,学会思考∴，∴椭圆长轴和短轴长分别为和，离心率，焦点坐标，，顶点，，，．练习、过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点、；（2）长轴长等于，离心率等于．解：（1）由题意，，，又∵长轴在轴上，所以，椭圆的标准方程为．（2）由已知，，∴，，∴，所以，椭圆的标准方程为

4、或．例3．如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆。已知它的近地点（离地面最近的点）距地面，远地点（离地面最远的点）距地面，并且、、在同一直线上，地球半径约为，求卫星运行的轨道方程（精确到）．解：如图，建立直角坐标系，使点在轴上，为椭圆右焦点（记为左焦点），设椭圆标准方程为（），则，图①，解得：学会学习,学会思考∴，所以，卫星的轨道方程是．五．小结：椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）．学会学习,学会思考