椭圆的几何性质学案1

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1、第4课时　椭圆的几何性质(1)　教学过程一、问题情境问题1　方程+=1表示什么样的曲线?你能利用以前学过的知识画出它的图形吗?解　方案1　列表、描点、连线进行作图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题.方案2　求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形.方案3　只作第一象限内的图形,联想椭圆形状,利用对称性得到其他象限内的图形.[1]问题2　与直线方程和圆的方程相对比,椭圆的标准方程+=1(a>b>0)有什么特点?[2]解　①椭圆方程是关于x,y的二元二次方程;②方程的左边是平方和的形式,右边是常数1;③方程中x2和y2的系数不相等.二、数学建构1.结合

2、椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围.方案1　+=1变形为=1-≤1,即x2≤a2,所以-a≤x≤a.同理可得-b≤y≤b.方案2　椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1,那么这两个数都不大于1,所以≤1,所以-a≤x≤a.同理可以得到y的范围是-b≤y≤b.(图1)方案3　还可以用三角换元,设=cosθ,=sinθ,利用三角函数的有界性,也可以得到x,y的范围.这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内(如图1).2.继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆的对称性.[3]在椭圆的标准方程中,把x换成-x,方程并不改变,这说明当点P(x,y)在椭

3、圆上时,它关于y轴的对称点P'(-x,y)也在椭圆上,所以椭圆关于y轴对称.同理,把y换成-y,或同时把x,y分别换成-x,-y时,方程都不变,所以椭圆关于x轴和原点都是对称的.因此,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中,令x=0,得y=±b,这说明点B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理,点A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点,这四个点是对称轴与椭圆的交点,称为椭圆的顶点.线段A1A2,B1B2分别叫

4、做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.在椭圆的定义中,2c表示焦距,这样,椭圆方程中的a,b,c就有了明显的几何意义.问题3　在椭圆标准方程的推导过程中令a2-c2=b2能使方程简单整齐,其几何意义是什么?解　c表示半焦距,b表示短半轴长,因此,连结顶点B2和焦点F2,可以构造一个直角三角形OB2F2,在Rt△OB2F2内,O+O=B2,即c2+b2=a2.△OB2F2称为椭圆的特征三角形.4.圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比较“圆”,椭圆的“圆扁”取决于哪些因素?用什么样的量来刻画椭圆的“圆扁”程度

5、比较合适?方案1　用几何画板演示.方案2　可以用比值来刻画,当越大,椭圆越圆;当越小,椭圆越扁.方案3　还可以用比值来刻画,当越大,椭圆越扁;当越小,椭圆越圆.一般地,我们用比值来刻画椭圆的“圆扁”程度.离心率:焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,记为e,即e=.因为a>c>0,所以0

6、焦点在y轴上,其几何性质如何?焦点在x轴上与焦点在y轴上椭圆的几何性质对比:标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)范围

7、x

8、≤a,

9、y

10、≤b

11、x

12、≤b,

13、y

14、≤a对称性关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称顶点坐标(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)焦点坐标(c,0),(-c,0)(0,c),(0,-c)半轴长长半轴长为a,短半轴长为b,a>b长半轴长为a,短半轴长为b,a>b离心率e=e=a,b,c的关系a2=b2+c2a2=b2+c2三、数学运用

15、【例1】　(教材第35页例1)求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.[4](见学生用书P21)[处理建议]　由椭圆的方程确定a,b,c的值,从而使问题得以解决.交待清楚作图的几种方法.[规范板书]　解　根据椭圆的方程+=1,得a=5,b=3,c==4,所以椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e==,焦点为F1(-4,0)和F2(4,0),顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).将方程变形为y=±,根据y=算出椭圆第一象限内的几个点的坐标,如下表所示.x012345y3