1.椭圆的几何性质

《1.椭圆的几何性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、1．椭圆的几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的．下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．（1）范围引导学生从标准方程，得出不等式，，即，．这说明椭圆的直线和直线所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2．设问：为什么“把换成，或把换，或把、同时换成、时

2、，方程解不变．则图形关于轴、轴或原点对称”呢？事实上，在曲线方程里，如果把换成，而方程不变，那么当点在曲线上时，点关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称．类似地可以证明其他两个命题．同时应向学生指出：如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．最后强调：轴、轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关．因而是曲线的固有性质．（3）顶点引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点

3、，只须令得，点、是椭圆与轴的两个交点；令得，点、是椭圆与轴的两个交点．应该强调：椭圆有四个顶点、、、．同时还需指出：（1°）线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；（2°）、的几何意义：是椭圆长半轴的长，3是椭圆短半轴的长．（3°）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点．这时教师可作如下小结：由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．（4）离心率由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义：椭圆的焦距与长轴

4、长的比，叫做椭圆的离心率．先分析离心率的取值范围：∵，∴．再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：（1）当趋近于1时，趋近于，从而越小，因此椭圆越扁平：（2）当趋近于0时，趋近于0，从而趋近于，因此椭圆越接近于圆．2..文字语言定义平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。2.集合语言定义设双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d,这时称集合{M

5、

6、MF

7、/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.注意:定点F要

8、在定直线外且比值大于1.3.标准方程设动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,则由

9、MF

10、/d=e>1.推导出的双曲线的标准方程为(x²/a²)-(y²/b²)=1其中a>0,b>0,c²=a²+b².这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程.而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:(y²/a²)-(x²/b²)=1.同样的：其中a>0,b>0,c²=a²+b².编辑本段·双曲线的简单几何性质1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a

11、,y≤-a（焦点在y轴上）。2、对称性：关于坐标轴和原点对称。3、顶点：A(-a,0)，A’(a,0)。同时AA’叫做双曲线的实轴且∣AA’│=2a.B(0,-b)，B’(0,b)。同时BB’叫做双曲线的虚轴且│BB’│=2b.4、渐近线：焦点在x轴：y=±(b/a)x.焦点在y轴：y=±(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e）令θ=0，得出ρ=ep/1-e,

12、x=ρcosθ=ep/1-e令θ=PI，得出ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e这两个x是双曲线定点的横坐标。求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）3x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2（注意化简一下）直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】则θ=θ’+【PI/2-arc

13、cos（1/e）】带入上式：ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2现在可以用θ取代式中的θ’了得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/25、离心率：第一定义：e=c/a且e∈（1，+∞).第二定义：双曲线上的一点