《1.3.2 矩阵乘法的运算律》教案2

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1、《1.3.2矩阵乘法的运算律》教案1教学目的一、知识与技能：理解矩阵乘法不满足交换吕和消去律，会验证矩阵乘法满足结合律二、过程与方法：比较演算法三、情感态度和价值观：体会类比推理中结论全真的含义教学重点、难点熟练运用各种运算教学过程一、矩阵的加法定义2设和是的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A+B，定义为一个的矩阵：。例2设,，计算。负矩阵设，称矩阵为矩阵A的负矩阵。矩阵的减法：二、数与矩阵相乘定义3（矩阵数乘）数与矩阵的乘积（称之为数乘），记作或，定义为一个的矩阵。以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：

2、交换律结合律数对矩阵的分配律矩阵对数的分配律结合律例3设，且求矩阵X。解：由得。三、矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换：，其系数矩阵；，其系数矩阵从而可得从到的线性变换：，其系数矩阵，记做C则。显然，矩阵C是由矩阵A、B产生的，把这种运算称为矩阵与矩阵的乘积。定义4（矩阵乘法）设是一个矩阵，是一个矩阵，A与B的乘法，记作AB，定义为一个的矩阵，其中.由定义，不难看出（强调）：只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时，才能定义乘法AB；矩阵C=AB的行数是A的行数，列数则是B的列数；矩阵C=AB在位置上的元素等于A的第行

3、元素与B的第列对应元素的乘积之和。例4设矩阵，，求AB和BA(BA无意义)。例5设矩阵,求AB和BA。例6设A是的矩阵（行向量），是的矩阵（列向量），即，，求AB和BA。上述几个例子显示，当AB有意义时，BA不一定有意义（例4）；即使AB和BA都有意义（例5、6），但不一定有相同的阶数（例6），即便有相同的阶数，也不一定相等（例5）。例5还说明，如果AB=O，不是一定有A=O或B=O。一般情况而言矩阵乘法不满足交换律。特殊的，若两个矩阵A和B满足，则称矩阵A和B是可交换的。例7设是一般矩阵，和分别是m和n阶单位阵，则

4、和。如果A是方阵时，有AE=EA=A，E相当于数1的作用。这就是称E为单位阵的原因。矩阵乘法满足以下运算律：结合律。数乘结合律。分配律；。矩阵的幂设是阶矩阵，定义：,其中，是正整数；特别规定.由于乘法成立分配律结合律，有，，但由于不成立交换律，故一般。例8设矩阵、是上（下）三角矩阵，则亦是上（下）三角矩阵；且的对角元素等于、对角元素的乘积。特别，对角矩阵的积仍是对角矩阵。例9用矩阵表示线性方程组。解：令，称A为系数矩阵；，称b为常数项矩阵；，称X为未知数矩阵；则原方程组可表示为AX=b。四、矩阵的转置定义5(转置矩阵

5、)设，是将A的行和列对应互换得到的矩阵，称它为A的转置矩阵，记作。如，则。矩阵的转置满足下列运算法则：；；是数；例10设，，求。解：解法1，所以。解法2。定义6(对称矩阵)设是阶矩阵。如果，则称A为对称阵。显然，其元素满足：；如果，则称A为反对称阵。显然，其元素满足：。例如是一个对称矩阵，而是一个反对称矩阵。显然，对角矩阵一定是对称矩阵。五、方阵的行列式定义7(方阵的行列式)由n阶方阵的元素，不改变它的位置构成一个n阶行列式，称此行列式为矩阵A所对应的行列式，记做

6、A

7、或det(，即。注意：矩阵的行列式与矩阵是两个不

8、同的概念，前者是一个数，后者是一个数表。矩阵的行列式满足以下运算律，设A、B都是方阵，则（1）（由行列式性质）。（2），n是矩阵A的阶。（3）。定义8(伴随矩阵)设是n阶方阵，由行列式

9、

10、中的每个元素aij的代数余子式所构成的矩阵，称之为矩阵的伴随矩阵。注意，伴随矩阵在位置上的元素是矩阵在位置上的代数余子式。例如，的伴随矩阵是。定理1设A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则证明记，由矩阵的乘法，展开定理1.3及推论1.3，得。例11求矩阵的伴随矩阵。