§12.05等差数列求和

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1、12．5等差数列的前n项和一、复习与回顾上节课我们学习了等差数列的前n项和公式：1．Sn＝na1＋．2．Sn＝．二、数学运用例1(1)已知数列{an}的通项为an＝26－2n，若要此数列的前n项之和Sn最大，则n的值为_____．(2)等差数列{an}中，若a5＋a16＝30，则S20等于_______．(3)在－9和3之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－21的等差数列，则n＝_______．(4)若等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为_________．解(1)方法一因为Sn＝＝n(25－n)＝－n2＋25n＝－(n－)2＋，

2、所以，当n＝12或13时，Sn取得最大值．方法二因为an＝26－2n是n的单调增函数，且an≥0Ûn≤13，当且仅当n＝13时，an＝0，所以，当n＝12或13时，Sn取得最大值．(2)因为a1＋a20＝a5＋a16＝30，所以S20＝＝＝300．(3)由题意，S＝＝－3(n＋2)＝－21，所以n＋2＝7，解得n＝5．(4)因为Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，即30，70，S3m－100成等差数列，所以S3m＝210．注意：将等差数列前n项求和公式和一些小性质结合起来使用．例2某车间全年共生产2250个零件，现知1月份生产了105个零件，若生产零件的个数

3、每月递增，求平均每月比前一个月多生产多少个零件？12月份生产多少个零件？解设平均每月比前一个月多生产d个零件，则＝1260＋66d，即1260＋66d＝2250，解得d＝15．第12个月生产的零件数为105＋15×11＝370．答平均每月比前一个月多生产15个零件，12月份生产370个零件．5－3例3某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？解从后到前，剧场各排座位数成等差数列，首项为60，公差为－2，项数为20．由等差数列的求和公式，得S20＝20×60＋×(－2)＝820．答这个剧场共有820个座位．例4某种卷筒卫

4、生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm．已知卷筒卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到1m）？解卷筒卫生纸从内到外可近似地理解为同心圆，各圆的半径构成首项为20.05mm，公差为0.1mm的等差数列．设第n个圆的半径为rnmm，周长cnmm，其中cn＝2πrn．因为cn＋1－cn＝2π(rn＋1－rn)＝0.2π，所以，从内到外圆的周长构成首项为40.1πmm，公差为0.2πmm的等差数列，项数为＝400．由等差数列的求和公式，得S400＝400×40.1π＋×0.2π＝32000π(mm)≈100531(mm)≈1

5、01(m)．答满盘时卫生纸的总长度大约是101m．例5教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象为在小学四年级（含四年级）以上的学生．教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元．假设零存整取3年教育储蓄的月利率为2.1‰．(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？(2)零存整取3年期教育储蓄每月至多可存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？解(1)设每月存入A元，则3年后可取得总额为[(1＋2.1‰)＋(1＋2×2.1‰)＋…＋(1＋36×2.1‰)]A＝(36＋36×2.1‰

6、＋×2.1‰)A＝37.3986A．由37.3986A＝20000，解得A≈534.78．(2)由于教育储蓄存款总额不超过2万元，所以零存整取3年期教育储蓄每月至多存入≈555.55(元)．这样3年后的本息合计为37.3986×555.55＝20776.79223≈20776.79(元)．答(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入534.78元；(2)零存整取3年期教育储蓄每月至多存入555.55元，这样3年后本息合计约为20776.79元．三、课堂反馈:P43——1，2，3，4．四、回顾反思1．运用等差数列的知识解决实际问题，应注意什么？5－32．怎样选

7、择等差数列前n项和公式解决问题？五、课外作业P44：习题2．2(2)——6，7，8，9，10．5－3