网络的图、网络矩阵及网络方程

《网络的图、网络矩阵及网络方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

第13章网络图网络矩阵与网络方程本章介绍利用图论工具分析电路的方法。利用图论可以方便地列写独立的基尔霍夫定律方程，并将电路方程表达成矩阵形式。主要内容有：图、子图、连通图、树、基本回路和基本割集等概念；图的矩阵表示、基尔霍夫定律的矩阵表示；借助矩阵运算将电路方程表达成矩阵形式；借助专用树列写电路的状态方程。 本章目次13.2基本回路和基本割集13.1网络的图树13.3关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式13.4基本回路矩阵及基尔霍夫定律方程的基本回路矩阵形式13.5基本割集矩阵及基尔霍夫定律方程的基本割集矩阵形式13.6广义支路及其方程的矩阵形式13.7用矩阵运算建立节点电压方程13.8用矩阵运算建立回路电流方程和割集电压方程引言 13.0引言1.欧拉与哥尼斯堡桥：有条名叫Pregel的河流经哥尼斯堡(现加里宁格勒)，河中有两个岛，把市区分成四块陆地(A,B,C,D)，陆地间有七个桥相通。能否从任一陆地出发，走遍七桥而每桥只走一次？哥尼斯堡市区图图论趣话 七桥问题的解决欧拉规则(a)连接奇数个桥的陆地只有一个或超过两个以上时，不能实现一笔画。(b)连接奇数个桥的陆地仅有两个时，则从两者中任一陆地出发，可以实现一笔画而停在另一陆地。(c)每块陆地都连接有偶数个桥时，则从任一陆地出发都能实现一笔画，而回到出发点。ABCD用点表示陆地，用线表示陆地间的桥，便抽象成图。问题变成该图能否实现一笔画？ 2.平面图与非平面图国王遗嘱大意：把国土分成5块给儿子，规定各块之间都要有边界。儿子又提出在自己分到的领土上都要修一个王宫，并且各王宫之间都要有路直接相通而不能交叉。能否解决？用点表示王宫，用线表示王宫间的道路，便抽象成图。问题变成该图是否为平面图？ 3.四色定理四色问题：只须4种不同颜色，就能使平面地图上任何两个相邻的国家的颜色不同。图论问题：用点表示国家，用边表示国家直接相邻。证明只须4种颜色就可使所有相邻顶点具有不同颜色。1890年P.J.Heawood提出用五种颜色着色。1969年O.Ore在40个国家的地图上证明了四色定理。1976年，K.Appel,W.Hahen,J.Koch用计算机工作1200小时宣布证明了四色定理。 4.图论的主要应用(1)电网络的分析与综合。(2)印刷电路与集成电路的布线和测试。(3)通讯网络。(4)在理论物理和统计力学的应用(杨振宁、李政道)。(5)在化学领域的应用(同分异构体)。(6)在心理学领域的应用(1936年,K.Lewin:拓扑心学)。(7)在经济学领域的应用(税率涨落、商品流通、供求关系)。(8)在计算机科学领域的应用(计算机网络)。 图(graph):由“点”和“线”组成。“点”也称为节点或顶点(vertex)，“线”也称为支路或边(edge)。图通常用符号G来表示。1.网络的图图(a)电路只含二端元件，对应的图如图(b)所示。电桥电路及其图基本要求：掌握网络的图、子图、连通图、割集和树等概念。 连通图：图中任何两个节点之间至少存在一条路径，则称为连通图；否则称为非连通图。子图：图的一部分称为子图。一个孤立的节点也是一个子图。两个子图含互感电路及其图123456④②③① 有向图：图中的所有支路都指定了方向，则称为有向图；反之为无向图。回路：从图中某一节点出发，经过若干支路和节点(均只许经过一次)又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。割集：连通图的割集是一组支路集合，并且满足：(1)如果移去包含在此集合中的全部支路(保留支路的两个端点)，则此图变成两个分离的部分。(2)如果留下该集合中的任一支路，则剩下的图仍是连通的。(a)(b)为割集，(c)(d)为非割集割集与非割集示例 树(tree)：连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的连通子图。属于树的支路称为树支，其余支路称为连支。2.树分别表示支路数、树支数和连数左图的部分树电桥电路及其图 1.基本回路基本回路：每一个连支和必要的树支都构成一个单连支回路，称为基本回路。基本回路的方向规定为所含连支的方向。基本回路的性质：(a′)(b′)(c′)图中3个基本回路的KVL方程为独立图中树支1、2、3用实线表示；连支4、5、6用虚线表示。基本要求：掌握基本回路和基本割集的定义；理解基本回路KVL的独立性和基本割集KCL的独立性、树支电压的独立性和连支电流的独立性。 再增加一个由支路1、4、5、构成的回路推广到一般情况：对基本回路列写的基尔霍夫电压定律方程是一组独立方程，因此称基本回路是一组独立回路。(a)(b)(c)不再独立连支电压可以用树支电压的线性组合来求得(a′)(b′)(c′)例如由式(a)-(c)求得各连支电压为结论：在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量。123456④②③①由（a）与(b)相减得到 2.基本割集基尔霍夫电流定律可用于割集：割集电流代数和为零。单树支割集基本割集：每取一个树支作一个单树支割集，称为基本割集。基本割集的方向规定为所含树支的方向。基本割集的性质(a)(b)(c)图中3个基本割集KCL方程是（独立）由1、2、4构成的割集（由(b)-(a)得到）不再独立 任一树支电流都可通过KCL表达成连支电流的线性组合。任一连支电流不能仅通过KCL表达成其它连支电流的线性组合，因为仅由连支不能形成割集。结论：在全部支路电流中，连支电流是一组独立变量。(a)(b)(c)(a′)(b′)(c′)推广为一般情况：基本割集的基尔霍夫电流定律方程是一组独立方程因此称基本割集是一组独立割集。基本割集数等于树支数 在上图所示网络的图。(1)选择一组独立的支路电压，并用以表达其它支路电压；(2)选择一组独立的支路电流，并用以表达其它支路电流。选择一树:{1,2,3,4}，树支电压是一组独立的支路电压，连支电流是一组独立的支路电流。123456④②③① 对基本回路列写KVL，可以求得连支电压：(2)对基本割集列写KCL可以求得树支电流：例题13.1 1.关联矩阵对于n个节点b条支路的图，定义一个矩阵(行号对应节点号，列号对应支路号),矩阵中第i行第j列元素定义为节点支路关联阵基本要求：熟练掌握关联矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定律。 除去节点④对应的第4行的任意一行都可由其他n-1行来确定，它只有n-1个独立行。可将其任意一行省略，得到一个缩减的矩阵，简称关联矩阵，记为A。支路：123456节点①节点②节点③节点④例如，对如图所示的电桥电路的图，其节点-支路关联矩A′为 2.基尔霍夫定律的关联矩阵形式对上图的节点①、②、③列KCL方程并写成矩阵形式为此方程组的系数矩阵就是该图的关联矩阵A。推广到一般情况：将b个支路电流写成支路电流向量，则基尔霍夫电流定律的关联矩阵形式为AI＝0(1)KCL的关联矩阵形式 (1)KVL的关联矩阵形式此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵A的转置。选下图的节点④为参考点，用节点电压之差表示支路电压，并写成矩阵形式推广到一般情况：设网络有b条支路，n个节点，第n号节点为参考节点支路电压和节点电压向量分别记作则节点电压与支路电压的关系即KVL 表示基本回路与支路的关联关系。定义B的行对应基本回路列对应支路，B的元素定义为基本要求：掌握基本回路矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定律。1.基本回路矩阵B 与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为例：如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵B的右边存在单位矩阵。支路：123456回路4回路5回路6 推广到一般情况：设U表示支路电压向量，基氏电压定律的基本回路矩阵形式为2.基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式对左图所示基本回路列写KVL方程，并写成矩阵形式其系数矩阵是上图的基本回路矩阵(1)KVL的基本回路矩阵形式如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成用树支电压表示连支电压 对下图所示基本割集列写KCL方程并写成矩阵形式(a)(b)系数矩阵是基本回路矩阵B的转置。式(b)就是基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式。(2)KCL的基本回路矩阵形式 推广到一般情况:基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成用连支电流表示树支电流 基本要求：理解基本割集矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定律。矩阵的行对应基本割集，列对应支路，其元素为1.基本割集矩阵C 如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵C的左边存在单位矩阵。支路：123456割集1割集2割集3与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为 2.基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式对左图所示的基本割集列写基尔霍夫电流定律方程并写成矩阵形式为上述方程的系数矩阵刚好是上图的基本割集矩阵。(1)KCL的基本割集矩阵形式 推广到一般情况：设I表示支路电流向量，则基尔霍夫电流定律的基本割集矩阵形式是如果支路编号使得矩阵C的左边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成用连支电流表示树支电流 对左图所示的基本回路列电压方程，并写成矩阵形式得再扩展到全部支路电压(2)KVL的基本回路矩阵形式 推广到一般情况：设树支电压向量为，则基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式是如果支路编号使得矩阵C的左边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成用树支电压表示连支电压 由连支电流求得树支电流为由欧姆定律求得树支电压最后求出连支电压求连支电压。某网络图的连支电流树支电阻基本割集矩阵 特勒根定理设两个集中参数电路的有向图相同，其支路电压向量分别为及支路电流向量分别为及，则有证明：将电路的KVL关联矩阵形式，转置，得两边同时右乘电路N的支路电流向量I，并引用，得再将电路N的KCL的关联矩阵形式，即代入上式，得同理可证 3.网络矩阵之间关系(1)关联矩阵与基本回路矩阵关系对同一图的关联矩阵A和对应任一树的基本回路矩阵B有连支电流是一组独立变量可随意给定，因此可得或(2)基本回路矩阵与基本割集矩阵关系在图中任取一树，写出基本回路矩阵B和基本割集矩阵C，有因对任意树支电压均成立,由此得或 将上式展开得常用关系上式表明由基本回路矩阵B可求基本割集矩阵C，反之亦然如果对支路、基本回路和基本割集的编号使得矩阵B和矩阵C中均出现单位子矩阵，则上式可进一步写成分块矩阵的形式 第k条广义支路的方程可以表示成(k=1,…b)b条支路的支路方程矩阵形式是(省略了复变量s)基本要求：掌握广义支路的定义及其方程的矩阵形式、定义广义支路的目的。简写为 若矩阵Z存在逆矩阵，令，并乘两端，得其中U、I为支路电压向量与支路电流向量为支路源电压与支路源电流量为支路阻抗矩阵与支路导纳矩阵含有互感元件互感支路其支路方程的矩阵形式为 与其它支路方程合在一起并写成矩阵形式得以图(a)为例，含VCCS支路的支路方程为故支路导纳矩阵为 令(称节点导纳矩阵)节点电压方程简化为AI＝0移项后得节点电压方程基本要求：掌握用关联矩阵形式的基尔霍夫定律方程建立节点电压方程的步骤。 利用本节方法列写图(a)所示电路的节点电压方程，并求出各广义支路的电压和电流。(1)按广义支路定义，对照图(a)作出网络的图(b)(2)根据图写出关联矩阵A(3)根据网络图并对照图(a)写出(4)计算 (6)求解上式得节点电压(5)按列出节点电压方程(7)根据式和式求出广义支路电压和广义支路电流 对于本例的简单电路，按上述步骤列写节点电压方程还不如用以前学过的方法简便。但对于复杂电路，必须按照规范步骤列写电路方程，以便编制计算程序。 1.回路电流方程的建立(c)令(d)(e)式(b)可以简写成(a)基本要求：掌握用基尔霍夫定律的矩阵形式建立回路电流方程的割集电压方程的方法。(b)基本回路方程矩阵形式移项 (a)割集电压方程矩阵形式割集电压方程式(a)可简写成(割集导纳矩阵)(割集源电流向量)令