网络的图、网络矩阵及网络方程

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1、第13章网络图网络矩阵与网络方程本章介绍利用图论工具分析电路的方法。利用图论可以方便地列写独立的基尔霍夫定律方程，并将电路方程表达成矩阵形式。主要内容有：图、子图、连通图、树、基本回路和基本割集等概念；图的矩阵表示、基尔霍夫定律的矩阵表示；借助矩阵运算将电路方程表达成矩阵形式；借助专用树列写电路的状态方程。本章目次13.2基本回路和基本割集13.1网络的图树13.3关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式13.4基本回路矩阵及基尔霍夫定律方程的基本回路矩阵形式13.5基本割集矩阵及基尔霍夫定律方程的基本割集矩阵形式13.6广义支路及其方程的矩阵形式13.7用矩阵运算建立节点电压方程13.8用

2、矩阵运算建立回路电流方程和割集电压方程引言13.0引言1.欧拉与哥尼斯堡桥：有条名叫Pregel的河流经哥尼斯堡(现加里宁格勒)，河中有两个岛，把市区分成四块陆地(A,B,C,D)，陆地间有七个桥相通。能否从任一陆地出发，走遍七桥而每桥只走一次？哥尼斯堡市区图图论趣话七桥问题的解决欧拉规则(a)连接奇数个桥的陆地只有一个或超过两个以上时，不能实现一笔画。(b)连接奇数个桥的陆地仅有两个时，则从两者中任一陆地出发，可以实现一笔画而停在另一陆地。(c)每块陆地都连接有偶数个桥时，则从任一陆地出发都能实现一笔画，而回到出发点。ABCD用点表示陆地，用线表示陆地间的桥，便抽象成图。问题变成该图能否实

3、现一笔画？2.平面图与非平面图国王遗嘱大意：把国土分成5块给儿子，规定各块之间都要有边界。儿子又提出在自己分到的领土上都要修一个王宫，并且各王宫之间都要有路直接相通而不能交叉。能否解决？用点表示王宫，用线表示王宫间的道路，便抽象成图。问题变成该图是否为平面图？3.四色定理四色问题：只须4种不同颜色，就能使平面地图上任何两个相邻的国家的颜色不同。图论问题：用点表示国家，用边表示国家直接相邻。证明只须4种颜色就可使所有相邻顶点具有不同颜色。1890年P.J.Heawood提出用五种颜色着色。1969年O.Ore在40个国家的地图上证明了四色定理。1976年，K.Appel,W.Hahen,J.K

4、och用计算机工作1200小时宣布证明了四色定理。4.图论的主要应用(1)电网络的分析与综合。(2)印刷电路与集成电路的布线和测试。(3)通讯网络。(4)在理论物理和统计力学的应用(杨振宁、李政道)。(5)在化学领域的应用(同分异构体)。(6)在心理学领域的应用(1936年,K.Lewin:拓扑心学)。(7)在经济学领域的应用(税率涨落、商品流通、供求关系)。(8)在计算机科学领域的应用(计算机网络)。图(graph):由“点”和“线”组成。“点”也称为节点或顶点(vertex)，“线”也称为支路或边(edge)。图通常用符号G来表示。1.网络的图图(a)电路只含二端元件，对应的图如图(b)

5、所示。电桥电路及其图基本要求：掌握网络的图、子图、连通图、割集和树等概念。连通图：图中任何两个节点之间至少存在一条路径，则称为连通图；否则称为非连通图。子图：图的一部分称为子图。一个孤立的节点也是一个子图。两个子图含互感电路及其图123456④②③①有向图：图中的所有支路都指定了方向，则称为有向图；反之为无向图。回路：从图中某一节点出发，经过若干支路和节点(均只许经过一次)又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。割集：连通图的割集是一组支路集合，并且满足：(1)如果移去包含在此集合中的全部支路(保留支路的两个端点)，则此图变成两个分离的部分。(2)如果留下该集合中的任一支路，则剩下的图仍是连

6、通的。(a)(b)为割集，(c)(d)为非割集割集与非割集示例树(tree)：连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的连通子图。属于树的支路称为树支，其余支路称为连支。2.树分别表示支路数、树支数和连数左图的部分树电桥电路及其图1.基本回路基本回路：每一个连支和必要的树支都构成一个单连支回路，称为基本回路。基本回路的方向规定为所含连支的方向。基本回路的性质：(a′)(b′)(c′)图中3个基本回路的KVL方程为独立图中树支1、2、3用实线表示；连支4、5、6用虚线表示。基本要求：掌握基本回路和基本割集的定义；理解基本回路KVL的独立性和基本割集KCL的独立性、树支电压的独立性和连支电流的独

7、立性。再增加一个由支路1、4、5、构成的回路推广到一般情况：对基本回路列写的基尔霍夫电压定律方程是一组独立方程，因此称基本回路是一组独立回路。(a)(b)(c)不再独立连支电压可以用树支电压的线性组合来求得(a′)(b′)(c′)例如由式(a)-(c)求得各连支电压为结论：在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量。123456④②③①由（a）与(b)相减得到2.基本割集基尔霍夫电流定律可用于割集：割集电流代数