三阶Levi_Civita张量在量子力学中的应用

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1、２０１２年第１０期物理通报大学物理教学三阶Ｌｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａ张量在量子力学中的应用徐晓梅李云德（云南师范大学物理系云南昆明６５０５００）（云南大学物理系云南昆明６５００９１）（收稿日期：２０１２－０２－０９）摘要：利用Ｌｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａ张量及其基本性质，讨论了量子力学中坐标、动量及角动量的对易关系，给出了相关习题的一般解法．该解法可帮助学生克服在量子力学学习中解此类习题的困难．关键词：Ｌｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａ张量对易关系算符３众所周知，量子力学现在已经发展成为现代高∑δｉｉ＝δｉｉ＝３（３）科技的理论基础．然而，由于量子力学基本概念及处ｉ＝１理问题的方法与大家所熟悉的经典物理

2、有较大的差在此求和惯例下Ｌｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａ张量所满足的关系别，因此，初学者在量子力学学习过程中会遇到许多可简写为困难．最常见的困难之一是不知道如何解习题．尽εαβγεαβγ＝６（４）管为解决这个问题，已出版了许多习题解答方面的εαβγεαβλ＝２δγλ（５）著作，如比较流行的文献［１］．但是由于这些解答所εαβγεαλδ＝δβλδγδ－δβδδγλ（６）用的方法通常比较灵活，学生不容易掌握．我们根据量子力学中坐标、动量、角动量的基本对易关系多年的教学经验，对量子力学中力学量对易关系的可简写为证明类习题给出一般解法，以期帮助学生克服解此［ｘα，ｐβ］＝ｉδαβ（７）类习题的困难

3、．这里给出的一般解法，不仅对于初［ｌα，ｌβ］＝ｉεαβγｌγ（８）学者有用，而且对于有一定基础的大学高年级学生［ｌα，ｘβ］＝ｉεαβγｘγ（９）以及研究生在学习高等量子力学时，在加深对量子［ｌα，ｐβ］＝ｉεαβγｐγ（１０）力学的理解和提高应用量子力学解决问题能力方面，都具有启发和益处．２Ｌｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａ张量的应用举例利用上述１０个基本等式，原则上可以很方便地１Ｌｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａ张量的定义及其基本性质处理量子力学中有关矢量、张量算子的点乘积、叉乘Ｌｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａ张量为三阶完全反对称单位张量，积、对易子等联合运算．学生无需看习题解答即可完［２］其定义为：成

4、文献［２～４］中第四章的大部分习题．现举例说明εαβγ＝１，其中α，β，γ为１，２，３的偶对换；εαβγ＝上述公式的应用．在下边的例题证明中用到了一些－１，其中α，β，γ为１，２，３的奇对换；εαβγ＝０，其中简单的恒等式，如ｐｉｌｉ＝ｌｊｐｊ＝０，εｉｊｋｐｉｐｊ＝０．这些α，β，γ中有两个以上指标相同．Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ张量定式子从基本对易关系式（７）～（１０）很容易得到证义为明．以下我们将列举一些在量子力学习题中较难的１，ｉ＝ｊδｉｊ＝｛习题，说明用Ｌｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａ张量解题的方法．０，ｉ≠ｊ【例１】求证：（ｌ×ｐ）２２２＝ｌｐ在下面的讨论中采用下列求和约定先把式中左边的

5、算子利用公式（１）写成第α分３Ａ·Ｂ＝∑ＡαＢα＝ＡαＢα＝ＡαＢβδαβ（１）量形式；然后利用公式（２）将叉乘积用Ｌｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａα＝１３张量展开；最后再利用公式（６）把Ｌｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａ张量（Ａ×Ｂ）α＝∑εαβγＡβＢγ＝εαβγＡβＢγ（２）表示成Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ张量，化简即可得到证明．β，γ＝１作者简介：徐晓梅（１９６３－），女，副教授，硕士生导师，主要从事大学物理教学和物理教学论研究工作．—１６—２０１２年第１０期物理通报大学物理教学证明：原式左边＝原式左边＝εαβγＪβ（Ｊ×Ａ）γ＝（ｌ×ｐ）α（ｌ×ｐ）α＝εαβγεαλδｌβｐγｌλｐδ＝εαβγεγλ

6、ρＪβＪλＡρ＝（δαλδβρ－δαρδβλ）ＪβＪλＡρ＝（δβλδγδ－δβδδγλ）ｌβｐγｌλｐδ＝ＪβＪαＡβ－ＪβＪβＡα＝Ｊβ（ＡβＪα＋ｉεαβλＡλ）－ＪβＪβＡα＝（ｌ）ｐ２２ｌβｐγｌβｐγ＝ｌββｐγ－ｉεβγηｐηγ＝ｌｐＪβＡβＪα－ＪβＪβＡα＋ｉεαβλＪβＡλ＝【例２】求证：－（ｐ×ｌ）·（ｌ×ｐ）＝（Ｊ·Ａ）Ｊ２α－ＪＡα＋ｉ（Ｊ×Ａ）α２２２２（２）对等式左边的第α分量证明即可．ｌｐ＋４ｐ此题的证明方法与例１相似．在中间的运算过原式左边＝［Ｊ２，［Ｊ２，Ａ］］＝［Ｊ２，［Ｊ，Ａ］］＝程中，为了得到与右边相同的形式而多次利用了动αβＪβα量－

7、角动量的对易关系式（１０）．［Ｊ２，［Ｊ，Ａ］］＋［Ｊ２，［Ｊ，Ａ］］ＪＪββαβαβ＝证明：原式左边＝－（ｐ×ｌ）·（ｌ×ｐ）＝ｉεβαλ｛Ｊβ［ＪγＪγ，Ａλ］＋［ＪγＪγ，Ａλ］Ｊβ｝＝－（ｐ×ｌ）α（ｌ×ｐ）α＝－εαβγεαλδｐβｌγｌλｐδ＝ｉεβαλ｛ＪβＪγ［Ｊγ，Ａλ］＋［Ｊγ，Ａλ］ＪγＪβ＋（δβδδγλ－δβλδγδ）ｐβｌγｌλｐδ＝ｐβｌγ（ｌγｐβ－ｌβｐγ）＝Ｊβ［Ｊγ，Ａλ］Ｊγ＋Ｊγ［Ｊγ，Ａλ］Ｊβ｝＝（ｌγｐβ－ｉεγβηｐ