matlab在量子力学中的应用.doc

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1、《MATLAB》语言课程设计MATLAB在量子力学中的应用姓名：曹诗凤学号：12010240520专业：通信工程班级：2010级通信工程指导老师：汤全武学院：物理电气信息学院完成日期：2011-12-1111MATLAB在量子力学中的应用（曹诗凤120102405202010级通信班）[摘要]量子力学的应用和成就是多方面的，迄今仍保持有旺盛的生命力，硕果颇传。虽然《大学物理》中介绍的量子力学只是一些最基本的概念，但之中涉及了许多复杂的数值计算问题，解微分方程的问题，图像显示问题，例如一维无限深势阱问题，一维运动粒子的波函数曲线问题，对其手工求解较为复杂，而MAT

2、LAB语言正是处理这些复杂问题的很好工具，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，非常方便实用，另外利用其可以减少工作量，节约时间，加深理解对量子力学的理解，同时可以培养应用知识的能力。[关键词]量子力学MATLAB语言一维无限深方势阱波函数概率密度一、问题的提出MATLAB语言是当今国际上科学界（尤其是自动控制理论）最具影响力、也是最有活力的软件。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。MATLAB语言在各国高校与研究单位起着重大的作用，它是一种集数值运算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多

3、种功能。在量子力学中，可以利用其帮助初学者理解量子力学与经典力学截然不同的思维方式和观念，理解微观粒子的波粒二象性。下面将以一维势阱问题，波函数和概率密度曲线问题为例讲述MATLAB在量子力学中的应用。二、薛定谔方程简介量子力学的应用和成就是多方面的，迄今仍保持旺盛的生命力，硕果颇传。大学物理中给我们介绍了有关量子力学的基本概念和薛定谔方程，着重给我们分析了无限深势阱问题，但大学物理求解方法不仅繁琐费时，而且难以理解。，下面我们用MATLAB语言对此问题做一下分析。在用MATLAB求解之前，首先简单介绍一下薛定谔方程，薛定谔方程式量子力学的基础，是学习量子力学的

4、第一步。在经典力学中，如果知道质点的受力情况，以及质点在起始时刻的坐标和速度，那么牛顿运动方程可求得质点在任何时刻的运动状态，在量子力学中，微观粒子的状态是由波函数描述的，如果我们知道它所遵循的运动方程，那么由起始状态和能量，就可求解粒子的状态，先建立自由粒子的薛定谔方程，然后，在此基础上，建立在势场中运动的微观粒子所遵循的薛定谔方程。设有一质量为m、动量为p,能量为E的自由E的自由粒子，沿x轴运动，则其波函数可表示为　　　　　　　　　　　（1）将上式对x取二阶偏导数，对t取一阶偏导数，分别得（2）（3）11考虑到自由粒子的能量E只等于其动能，且当自由粒子的速度

5、较光速小很多时，在非相对论范围内，自由粒子的动量与动能之间的关系为，于是，由两式可得（4）这就是做一维运动的自由粒子的薛定谔方程若粒子在势能为的势场中运动，则其能量为。将此关系式代入式（3），并利用式（2），不难得到（5）这是在势场中作一维运动的粒子的含时薛定谔方程，这个方程描述了一个质量为m的粒子，在势能为的势场中，其随时间而变化的规律。在有些情况下，微观粒子势能为仅是坐标的函数，而与时间无关。于是，就可以把式（1）所表达的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即（6）其中（7）把式（5）代入式（6）可得（8）或（9）显然，由于只是x的函数，而与时间无关，所以，

6、式（9）称为在势能中一维运动粒子的定态薛定谔方程，此方程之所以被称为定态，不仅因为粒子在势场中的势能只是坐标的函数，与时间无关，而且系统的能量也为一与时间无关的常量，概率密度亦不随时间而改变，这是定态所具有特性，下面，讲述的粒子在无限深势阱中的运动可视为定态下的运动。如粒子是在三维势场中运动的，则可把式（9）推广为（10）或简写成11（11）引入拉普拉斯算符，（12）上式可简写为；（13）这就是一般的薛定谔方程，它是在势能仅与坐标有关的力场中运动的粒子的德布罗意波德波动方程三、用MATLAB语言求解一维无限深势阱问题如图1所示，设想一粒子处在势能为的力场中，并沿

7、x轴作一维运动。粒子的势能满足下述边界条件：(1)当粒子在范围内时，=0；(2)当及时，。这就是说粒子只能在宽度为a的两个无限高势垒壁之间自由运动，就像一小球被限制在无限深的平底深谷中运动那样，我们理想化了得势阱曲线叫无限深方形势阱。因为粒子只限于沿x轴方向运动，故这个势阱为一维无限深的方形势阱，简称一维方势阱。有上述边界条件已知，粒子在势阱中得势能（x）与时间无关，且=0.因此，由一般的薛定谔方程（1），粒子在无限深方势阱中得定态薛定谔方程为（14）式中m为粒子的质量，E为粒子的总能量。如令k为（15）则上式可写成（16)根据边界条件，x=0时，，则可以利用M

8、ATLAB求解微分方程。