2012中考北京各城区一模(几何综合)汇编

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1、1.（东城一模）24.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=，设BP=，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于的函数关系式．【答案】解：（1）EF=2．……………1分（2）EF=BF．……………2分证明：∵∠BAP=∠BAE-∠E

2、AP=60°-∠EAP，∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，∴∠BAP=∠EAQ．在△ABP和△AEQ中，AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，∴△ABP≌△AEQ．∴∠AEQ=∠ABP=90°．∴∠BEF．又∵∠EBF=90°-60°=30°，∴EF=BF．……………4分　　(3)在图1中，过点F作FD⊥BE于点D．　∵△ABE是等边三角形,　∴BE=AB=．由（2）得30°，在Rt△BDF中，．∴BF=．∴EF=2．　　　∵△ABP≌△AEQ,∴QE=BP=．∴QF=QE＋EF．∴　以QF为边的等边三角形的面积y=　．…7分21/211.（西

3、城一模）24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．(1)求证：BF∥AC；(2)若AC边的中点为M，求证：；(3)当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．图1图2图6【答案】证明：（1）如图6．∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，直线DE交直线CH于点F，∴BF=DF，DH=BH．…………………1分∴∠1=∠2．又∵∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，∴∠A＝∠2．图7∴BF∥

4、AC．………………………………………………………………2分（2）取FD的中点N，连结HM、HN.∵H是BD的中点，N是FD的中点，∴HN∥BF．由（1）得BF∥AC，∴HN∥AC，即HN∥EM．∵在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AC边的中点为M，∴．∴∠A＝∠3．∴∠EDA=∠3．∴NE∥HM．∴四边形ENHM是平行四边形．………………………………………3分∴HN=EM．∵在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，21/21∴，即．∴．…………………………………………………………4分（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所

5、有与BE相等的线段是EF和CE．（只猜想结论不给分）证明：连结CD．（如图8）∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，图8∴BC=CD，∠ABC＝∠5．∵AB＝BC，∴，AB＝CD．①∵∠EDA=∠A，∴，AE=DE．②∴∠ABC＝∠6=∠5．∵∠BDE是△ADE的外角，∴．∵，∴∠A＝∠4．③由①，②，③得△ABE≌△DCE．………………………………………5分∴BE=CE．………………………………………………………………6分由（1）中BF=DF得∠CFE=∠BFC．由（1）中所得BF∥AC可得∠BFC=∠ECF．∴∠CFE=∠ECF．∴EF=CE．∴B

6、E=EF．………………………………………………………………7分∴BE=EF=CE．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）1.（海淀一摸）24．在□ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上,当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.2

7、1/21【答案】解:（1）NP=MN,∠ABD+∠MNP=180°(或其它变式及文字叙述,各1分).……2分（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法).M1324PNAEFCDB证明：如图,分别连接BE、CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，∴∠ABD=∠BDC.∵∠A=∠DBC，∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.①………………………3分∵∠EDF=∠ABD,∴∠EDF=∠BDC.∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC.即∠BDE=∠CDF.②又DE=DF，③由①②③得△BDE≌△CDF.………………………………………

8、…………4