2008年上海交通大学冬令营数学试题

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1、欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com2008年上海交通大学冬令营数学试题2008.1.1一．填空题1．若，，则．2．函数的最大值为__________．3．等差数列中，，则前项和取最大值时，的值为__________．4．复数,若存在负数使得，则．5．若，则．6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和．7．……中的系数为．8．数列中，，，，，，，，，，此数列的通项公式为．9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某

2、人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为．10．若曲线与的图像有3个交点，则．二．解答题1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为．（１）是否有可能比高？（２）和是否可能相等？2．已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结论．《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定

3、每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级．（１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？（２）若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？4．通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，．设，，表示和中相对应的元素不同的个数．（１）问存在多少个5元数组使得；（２）问存在多少个5元数组使得；（３）令，，，求证：．5．曲线与圆交于两点，线段的中点在上，求．《中学数学信息网》系列资

4、料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com2008年交大冬令营数学试题2008.1.1一．填空题1．若，，则．22．函数的最大值为__________．3．等差数列中，，则前项和取最大值时，的值为__________．204．复数,若存在负数使得，则．5．若，则．6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和．7．……中的系数为．39212258．数列中，，，，，，，，，，此数列的通项公式为．9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的

5、占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为．10．若曲线与的图像有3个交点，则．二．解答题1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为．（１）是否有可能比高？（２）和是否可能相等？1．解：不可能《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com①若为同一人，有；②若在同一行、列，则均有；③若不在同一行、列，

6、同如图1以5*6的矩形为例，记所在列与所在行相交的人为。因为为列最矮的人，所以有；又因为为列最高的人，所以有；于是有。综上，不可能有有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为，如图2所示：此时有．2．已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结论．解：没有.法一：无实数根，；．．．．．于是有或．；《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com。故均不存在实数根。法二：若，则，于是；若，则，于是；所以没有实数根。3．世界杯预选赛中，中国、澳

7、大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级．（１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？（２）若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？解：乙专家若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。澳

8、澳中中卡卡伊伊总分澳30303312中03130310卡03103310伊0030003假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分