2007上海交通大学自主招生冬令营数学试卷

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1、2007年度上海交通大学冬令营数学试题（90分钟答题）填空题（每小题5分，共50分）1.设函数满足，则_______________。2.设均为实数，且，则_______________。3.设且，则方程的解的个数为_______________。4.设扇形的周长为6，则其面积的最大值为_______________。5._______________。6.设不等式与的解集分别为与。若，则的最小值为_______________。7.设函数，则_______________。8.设，且函数的最大值为，则_______________。9.6名考

2、生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为_______________。10.已知函数，对于定义，若，则_______________。计算与证明题（每小题10分，共50分）11.工件内圆弧半径测量问题。为测量一工件的内圆弧半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当，时，的值。1.设函数，试讨论的性态（有界性、奇偶性、单

3、调性和周期性），求其极值，并作出其在内的图像。2.已知线段长度为3，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离此时点的坐标。3.设，试证明对任意实数：①方程总有相同实根；②存在，恒有。4.已知等差数列是首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，，其中均为正整数，且。①求的值；②若对于，，存在关系式，试求的值；③对于满足②中关系式的，试求的值。2007年度上海交通大学冬令营数学试题参考答案1.2.3.24.5.6.27.8.9.10.11.，12.；偶函数；；；周期为13.；14.略；反证法15.2；3；