《2.3.1 数学归纳法》课件

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1、1．理解归纳法和数学归纳法原理．2．会用数学归纳法证明有关问题．学习目标《2.3.1数学归纳法》课件由有限多个个别的特殊事例得出_________的推理方法，通常称为_______．一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当____________时命题成立；(2)假设当_____时命题成立，证明_________时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确．这种证明方法称为___________．预习自测1．2

2、．一般结论归纳法n取初始值n0n＝kn＝k＋1数学归纳法为什么数学归纳法能够证明无限多个正整数都成立的问题呢？提示　这是因为第一步首先验证了n取一个值n0，这样假设就有了存在的基础，至少k＝n0成立，根据假设和合理推证，证明出n＝k＋1也成立．这实质上是证明了一种循环．如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立；n＝2成立，则n＝3也成立；n＝3成立，则n＝4也成立．如此反复，以至对所有n≥n0的整数就都成立了．数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇．自主探

3、究1．在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？提示　不可以；这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤①，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了．2．利用数学归纳法时，第二步为什么必须利用归纳假设？提示　第二步实际上是证明一个条件命题：“假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时

4、命题也成立”，其本质是证明一个递推关系，若不用归纳假设，就是没有证明这种递推关系，所以归纳假设是必须要用的．假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．3．通过计算下面的式子，猜想出－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)的结果，并加以证明．－1＋3＝________；－1＋3－5＝________；－1＋3－5＋7＝________；－1＋3－5＋7－9＝_______．解　上面四个式子的结果分别是2，－3，4，－5，由此猜想：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn下面用数学归纳法证明：【例1】典例

5、剖析知识点1利用数学归纳法证明等式(1)当n＝1时，式子左右两边都等于－1，即这时等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)kk当n＝k＋1时，－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)kk＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k＋2k＋1)＝(－1)k＋1(k＋1)．即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)知，命题对于n∈N*都成立．【反思感悟】用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄

6、清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．上式表明当n＝k＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立．【反思感悟】在推证“n＝k＋1”命题也成立时，必须把“归纳假设”n＝k时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法．对项数估算的

7、错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误．2．用数学归纳法证明：即n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)知，对于任意正整数n(n≥2)，原等式成立．用数学归纳法证明：【例3】知识点2用数学归纳法证明不等式【反思感悟】(1)由n＝k到n＝k＋1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．(2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等．证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴左边

8、≥右边，即命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，命题成立，由(1)(2)知原不等式在n∈N*时均成立．数学归纳法的两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就可能得出不正确的结论，因为单靠(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确无法判断．同样只有步骤(2)而没有步骤(1)也可能得出不正确的结论．因为缺少(1)，假设就失去了成